Ze Zbioru Wszystkich Liczb Naturalnych Dwucyfrowych Losujemy Jedną Liczbę

Dobrze, posłuchajcie uważnie, bo temat losowania liczb dwucyfrowych z zbioru liczb naturalnych to zagadnienie, które skrywa więcej niuansów niż mogłoby się początkowo wydawać.

Zacznijmy od podstaw. Zbiór wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych oznaczamy zazwyczaj jako {10, 11, 12, ..., 98, 99}. Kluczowe jest tutaj zrozumienie, że pracujemy w dziedzinie liczb naturalnych, co wyklucza liczby ujemne, ułamki i inne "egzotyczne" twory matematyczne. Musimy być precyzyjni.

Teraz, jeśli mówimy o losowaniu jednej liczby z tego zbioru, automatycznie wkraczamy w obszar prawdopodobieństwa. Założenie domyślne, o ile nie podano inaczej, brzmi, że losowanie jest jednostajne. Co to oznacza? To, że każda liczba z naszego zbioru ma dokładnie takie samo prawdopodobieństwo wylosowania. W praktyce, jeśli mamy idealną maszynę losującą, każda liczba od 10 do 99 ma szansę 1/(99-10+1) = 1/90.

Przejdźmy teraz do przykładów pytań, które często pojawiają się w kontekście tego losowania.

Prawdopodobieństwo Wylosowania Liczby Parzystej

To jedno z podstawowych pytań. Żeby na nie odpowiedzieć, musimy ustalić, ile liczb parzystych znajduje się w naszym zbiorze. Najmniejszą liczbą parzystą jest 10, a największą 98. Parzyste liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Aby znaleźć liczbę elementów w tym ciągu, stosujemy wzór:

n = (b - a)/r + 1

gdzie:

n - liczba elementów
b - ostatni element (98)
a - pierwszy element (10)
r - różnica (2)

Zatem n = (98 - 10) / 2 + 1 = 88 / 2 + 1 = 44 + 1 = 45. Mamy więc 45 liczb parzystych.

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej wynosi zatem 45/90 = 1/2. Intuicyjnie to oczywiste, ale ważne jest, żeby to formalnie uzasadnić.

Prawdopodobieństwo Wylosowania Liczby Podzielnej Przez 5

Tu sytuacja jest analogiczna. Szukamy liczb podzielnych przez 5 w naszym zbiorze. Najmniejszą liczbą podzielną przez 5 jest 10, a największą 95. Ponownie mamy ciąg arytmetyczny, tym razem o różnicy 5.

n = (95 - 10) / 5 + 1 = 85 / 5 + 1 = 17 + 1 = 18.

Mamy 18 liczb podzielnych przez 5. Prawdopodobieństwo wylosowania takiej liczby to 18/90 = 1/5.

Prawdopodobieństwo Warunkowe i Kombinacje Zdarzeń

Sprawy komplikują się, gdy zaczynamy rozważać prawdopodobieństwo warunkowe i kombinacje różnych zdarzeń. Na przykład:

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej, jeśli wiemy, że wylosowana liczba jest podzielna przez 5?

Tutaj musimy skupić się na zbiorze liczb podzielnych przez 5. Z wcześniejszych obliczeń wiemy, że jest ich 18. Teraz musimy policzyć, ile z tych 18 liczb jest parzystych. Są to liczby: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Jest ich 9.

Zatem, prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej pod warunkiem, że wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 5, wynosi 9/18 = 1/2.

Inny przykład:

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby, która jest parzysta lub podzielna przez 5?

Tu musimy uważać, żeby nie liczyć podwójnie liczb, które spełniają oba warunki (czyli są parzyste i podzielne przez 5). Mamy 45 liczb parzystych i 18 liczb podzielnych przez 5. Wiemy, że 9 liczb spełnia oba warunki. Zatem, liczb spełniających przynajmniej jeden warunek (parzysta lub podzielna przez 5) jest:

45 + 18 - 9 = 54

Prawdopodobieństwo wylosowania takiej liczby wynosi 54/90 = 3/5.

Kluczowe jest tutaj zrozumienie zasady włączeń i wyłączeń. Jeśli mamy dwa zdarzenia A i B, to prawdopodobieństwo, że zajdzie A lub B (lub oba), wynosi:

P(A lub B) = P(A) + P(B) - P(A i B)

Gdzie P(A i B) to prawdopodobieństwo, że zajdą oba zdarzenia jednocześnie.

Bardziej Złożone Scenariusze

Możemy oczywiście komplikować sytuację. Na przykład:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma cyfr wylosowanej liczby jest większa niż 10?

Tutaj musimy przeanalizować wszystkie możliwe kombinacje cyfr. Liczby, których suma cyfr jest większa niż 10, to:

19 (1+9 = 10 - NIE) 29 (2+9 = 11) 38 (3+8 = 11) 39 (3+9 = 12) 47 (4+7 = 11) 48 (4+8 = 12) 49 (4+9 = 13) 56 (5+6 = 11) 57 (5+7 = 12) 58 (5+8 = 13) 59 (5+9 = 14) 65 (6+5 = 11) 66 (6+6 = 12) 67 (6+7 = 13) 68 (6+8 = 14) 69 (6+9 = 15) 74 (7+4 = 11) 75 (7+5 = 12) 76 (7+6 = 13) 77 (7+7 = 14) 78 (7+8 = 15) 79 (7+9 = 16) 83 (8+3 = 11) 84 (8+4 = 12) 85 (8+5 = 13) 86 (8+6 = 14) 87 (8+7 = 15) 88 (8+8 = 16) 89 (8+9 = 17) 92 (9+2 = 11) 93 (9+3 = 12) 94 (9+4 = 13) 95 (9+5 = 14) 96 (9+6 = 15) 97 (9+7 = 16) 98 (9+8 = 17) 99 (9+9 = 18)

Jest ich 37. Zatem prawdopodobieństwo wynosi 37/90.

Kolejny przykład:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że cyfra dziesiątek wylosowanej liczby jest większa od cyfry jedności?

Tutaj również musimy przeanalizować możliwości:

10 20, 21 30, 31, 32 40, 41, 42, 43 50, 51, 52, 53, 54 60, 61, 62, 63, 64, 65 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98

Liczba takich liczb to 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 45.

Zatem prawdopodobieństwo wynosi 45/90 = 1/2.

Pamiętajcie, że w każdym przypadku kluczowe jest precyzyjne zdefiniowanie przestrzeni zdarzeń elementarnych (czyli zbioru wszystkich możliwych wyników losowania) oraz dokładne policzenie, ile wyników spełnia warunki zadania. Staranność i systematyczność są tu najważniejsze. Unikajcie intuicyjnych skrótów, bo często prowadzą na manowce. Zawsze, kiedy to możliwe, starajcie się rozłożyć problem na mniejsze, łatwiejsze do rozwiązania części. I przede wszystkim - praktykujcie! Im więcej przykładów rozwiążecie, tym lepiej zrozumiecie niuanse prawdopodobieństwa.