Ze Zbioru Wszystkich Liczb Naturalnych Czterocyfrowych Losujemy Jedną Liczbę

Dobrze, przygotujmy więc kompleksową odpowiedź na temat losowania liczby z zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych.

Zbiór liczb naturalnych czterocyfrowych, oznaczany umownie jako Z, składa się z liczb od 1000 do 9999 włącznie. Oznacza to, że |Z| = 9000 (9999 - 1000 + 1 = 9000). Losując jedną liczbę z tego zbioru, przeprowadzamy eksperyment losowy, w którym każda z 9000 liczb ma pewne prawdopodobieństwo bycia wylosowaną. Jeśli założymy, że losowanie jest idealnie losowe (tzn. każda liczba ma równe prawdopodobieństwo bycia wylosowaną), to prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej liczby x wynosi 1/9000.

Rozważmy teraz pewne charakterystyki i podzbiory tego zbioru, oraz to, jak losowanie wpływa na prawdopodobieństwo przynależności wylosowanej liczby do danego podzbioru.

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej

Aby liczba była parzysta, jej ostatnia cyfra musi być parzysta (0, 2, 4, 6, lub 8). W zbiorze Z, liczba parzystych i nieparzystych liczb jest w przybliżeniu taka sama. Aby precyzyjnie określić liczbę liczb parzystych w zbiorze Z, zauważmy, że pierwszą liczbą parzystą w Z jest 1000, a ostatnią 9998. Liczby parzyste tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Zatem, liczba liczb parzystych w Z wynosi (9998 - 1000)/2 + 1 = 8998/2 + 1 = 4499 + 1 = 4500. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej wynosi zatem 4500/9000 = 1/2.

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 5

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5. Pierwszą liczbą podzielną przez 5 w Z jest 1000, a ostatnią 9995. Liczby podzielne przez 5 również tworzą ciąg arytmetyczny, tym razem o różnicy 5. Zatem liczba liczb podzielnych przez 5 w Z wynosi (9995 - 1000)/5 + 1 = 8995/5 + 1 = 1799 + 1 = 1800. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 5 wynosi zatem 1800/9000 = 1/5.

Losowanie liczby z określonymi cechami cyfr

Możemy analizować prawdopodobieństwo wylosowania liczby z określonymi cechami cyfr, na przykład, liczby, której wszystkie cyfry są różne, lub liczby, w której pewna cyfra występuje określoną liczbę razy.

Rozważmy prawdopodobieństwo wylosowania liczby, której wszystkie cyfry są różne. Pierwsza cyfra (tysięcy) może być wybrana na 9 sposobów (1-9). Druga cyfra (setek) może być wybrana na 9 sposobów (0-9, z wyłączeniem cyfry tysięcy). Trzecia cyfra (dziesiątek) może być wybrana na 8 sposobów (0-9, z wyłączeniem cyfr tysięcy i setek). Czwarta cyfra (jedności) może być wybrana na 7 sposobów (0-9, z wyłączeniem cyfr tysięcy, setek i dziesiątek). Zatem, liczba liczb czterocyfrowych, których wszystkie cyfry są różne, wynosi 9 * 9 * 8 * 7 = 4536. Prawdopodobieństwo wylosowania takiej liczby wynosi 4536/9000 = 0.504.

Rozważmy teraz prawdopodobieństwo wylosowania liczby, w której cyfra 7 występuje dokładnie raz. Musimy rozważyć cztery przypadki: 7 na pozycji tysięcy, setek, dziesiątek i jedności.

• 7 na pozycji tysięcy: Pozostałe trzy cyfry mogą być wybrane z cyfr 0-9 z wyłączeniem 7. Każda z tych cyfr może być wybrana na 9 sposobów. Zatem mamy 1 * 9 * 9 * 9 = 729 możliwości. Musimy jednak odjąć przypadki, gdy pierwsza cyfra (setek) to 0, ponieważ wtedy mielibyśmy liczbę trzycyfrową. Takich przypadków jest 1 * 1 * 9 * 9 = 81. Zatem mamy 729 - 0 (bo 7 jest już na pozycji tysięcy, wiec żadna kolejna cyfra nie może być 0) = 729.
• 7 na pozycji setek: Cyfra tysięcy może być wybrana na 8 sposobów (1-9 z wyłączeniem 7). Cyfra dziesiątek może być wybrana na 9 sposobów (0-9 z wyłączeniem 7). Cyfra jedności może być wybrana na 9 sposobów (0-9 z wyłączeniem 7). Zatem mamy 8 * 1 * 9 * 9 = 648 możliwości.
• 7 na pozycji dziesiątek: Cyfra tysięcy może być wybrana na 8 sposobów (1-9 z wyłączeniem 7). Cyfra setek może być wybrana na 9 sposobów (0-9 z wyłączeniem 7). Cyfra jedności może być wybrana na 9 sposobów (0-9 z wyłączeniem 7). Zatem mamy 8 * 9 * 1 * 9 = 648 możliwości.
• 7 na pozycji jedności: Cyfra tysięcy może być wybrana na 8 sposobów (1-9 z wyłączeniem 7). Cyfra setek może być wybrana na 9 sposobów (0-9 z wyłączeniem 7). Cyfra dziesiątek może być wybrana na 9 sposobów (0-9 z wyłączeniem 7). Zatem mamy 8 * 9 * 9 * 1 = 648 możliwości.

Łączna liczba liczb czterocyfrowych, w których cyfra 7 występuje dokładnie raz, wynosi 729 + 648 + 648 + 648 = 2673. Prawdopodobieństwo wylosowania takiej liczby wynosi 2673/9000 = 0.297.

Możemy również rozważać inne warianty, np. prawdopodobieństwo wylosowania liczby, która jest palindromem (czyta się tak samo od przodu i od tyłu).

Prawdopodobieństwo wylosowania palindromu

Aby liczba czterocyfrowa była palindromem, musi mieć postać ABBA, gdzie A i B są cyframi. Cyfra A może być wybrana na 9 sposobów (1-9), a cyfra B może być wybrana na 10 sposobów (0-9). Zatem liczba palindromów czterocyfrowych wynosi 9 * 10 = 90. Prawdopodobieństwo wylosowania palindromu wynosi 90/9000 = 1/100 = 0.01.

Możemy również rozważać liczby, które spełniają jednocześnie kilka warunków, np. parzyste palindromy.

Prawdopodobieństwo wylosowania parzystego palindromu

Aby liczba czterocyfrowa była parzystym palindromem, musi mieć postać ABBA, gdzie A i B są cyframi oraz A musi być parzyste. Cyfra A może być wybrana na 4 sposoby (2, 4, 6, 8), a cyfra B może być wybrana na 10 sposobów (0-9). Zatem liczba parzystych palindromów czterocyfrowych wynosi 4 * 10 = 40. Prawdopodobieństwo wylosowania parzystego palindromu wynosi 40/9000 = 4/900 = 2/450 = 1/225.

Analizując te proste przykłady, widać, że manipulując warunkami, jakie musi spełniać wylosowana liczba, możemy wpływać na prawdopodobieństwo jej wylosowania. Można tworzyć bardziej skomplikowane warunki, łącząc różne cechy cyfr, dzielniki, czy inne własności matematyczne. Zawsze jednak należy pamiętać o dokładnym policzeniu liczby elementów w danym podzbiorze, aby poprawnie obliczyć prawdopodobieństwo. Dokładne zrozumienie przestrzeni zdarzeń (w tym przypadku zbioru liczb czterocyfrowych) jest kluczowe do precyzyjnej analizy probabilistycznej.

Ostatecznie, każde losowanie jest niezależnym zdarzeniem. Wynik poprzedniego losowania nie wpływa na wynik następnego. Dlatego też, choć możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania liczby o określonych cechach, w praktyce pojedyncze losowanie może dać zupełnie inny wynik niż ten, którego oczekujemy na podstawie obliczeń probabilistycznych. Prawdopodobieństwo opisuje tendencje i oczekiwane rozkłady wyników w długim okresie czasu, a nie pewność konkretnego wyniku w pojedynczym losowaniu.