Ze Zbioru Liczb Naturalnych Dwucyfrowych Losowo Wybieramy Jedną Liczbę

Drodzy Uczniowie,

Wasze pytania dotyczące losowego wyboru liczby ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych są bardzo ważne i wymagają szczegółowej analizy. Przygotowałem dla Was kompleksowe wyjaśnienie tego zagadnienia.

Zacznijmy od zdefiniowania przestrzeni zdarzeń elementarnych. Zbiór liczb naturalnych dwucyfrowych to liczby od 10 do 99 włącznie. Aby ustalić moc tego zbioru, odejmujemy od największej liczby dwucyfrowej najmniejszą liczbę dwucyfrową i dodajemy 1: 99 - 10 + 1 = 90. Zatem, mamy 90 możliwych liczb dwucyfrowych. Każda z tych liczb ma równe prawdopodobieństwo wylosowania, zakładając, że losowanie jest idealnie losowe.

Prawdopodobieństwo Podstawowych Zdarzeń

Załóżmy, że chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej liczby, na przykład 37. Ponieważ mamy 90 równoprawdopodobnych zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo wylosowania 37 wynosi 1/90. Podobnie, prawdopodobieństwo wylosowania jakiejkolwiek innej konkretnej liczby dwucyfrowej również wynosi 1/90.

A co jeśli interesuje nas prawdopodobieństwo wylosowania liczby spełniającej określone kryterium, na przykład liczby podzielnej przez 5? Musimy najpierw ustalić, ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 5 to 10, a największa to 95. Liczby podzielne przez 5 tworzą ciąg arytmetyczny: 10, 15, 20, ..., 95. Możemy użyć wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an = a1 + (n-1)r, gdzie an to n-ty wyraz, a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu. W naszym przypadku, an = 95, a1 = 10, a r = 5. Zatem:

95 = 10 + (n-1)5 85 = (n-1)5 17 = n-1 n = 18

Mamy więc 18 liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 5 wynosi 18/90, co upraszcza się do 1/5.

Podobnie, możemy rozważyć prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej. Najmniejsza liczba dwucyfrowa parzysta to 10, a największa to 98. Liczby parzyste tworzą ciąg arytmetyczny: 10, 12, 14, ..., 98. Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

98 = 10 + (n-1)2 88 = (n-1)2 44 = n-1 n = 45

Zatem mamy 45 liczb dwucyfrowych parzystych. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej wynosi 45/90, co upraszcza się do 1/2.

Rozważmy teraz bardziej skomplikowany przykład. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby, której suma cyfr wynosi 7? Musimy wypisać wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr wynosi 7: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70. Mamy 7 takich liczb. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby, której suma cyfr wynosi 7, wynosi 7/90.

A co z liczbami, których iloczyn cyfr wynosi 12? Musimy znaleźć wszystkie liczby dwucyfrowe, których iloczyn cyfr daje 12: 26, 34, 43, 62. Mamy 4 takie liczby. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby, której iloczyn cyfr wynosi 12, wynosi 4/90, co upraszcza się do 2/45.

Zdarzenia Złożone i Prawdopodobieństwo Warunkowe

Możemy również analizować zdarzenia złożone. Na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej i podzielnej przez 3? Aby to obliczyć, musimy znaleźć liczby dwucyfrowe parzyste i podzielne przez 3, czyli liczby podzielne przez 6. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 6 to 12, a największa to 96. Liczby podzielne przez 6 tworzą ciąg arytmetyczny: 12, 18, 24, ..., 96.

96 = 12 + (n-1)6 84 = (n-1)6 14 = n-1 n = 15

Zatem mamy 15 liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej i podzielnej przez 3 wynosi 15/90, co upraszcza się do 1/6.

Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B. Oznacza się je jako P(A|B). Na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 5, pod warunkiem, że jest parzysta? Musimy obliczyć P(podzielna przez 5 | parzysta). Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe to: P(A|B) = P(A i B) / P(B).

W naszym przypadku, A to "podzielna przez 5", a B to "parzysta". P(A i B) to prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 5 i parzystej, czyli podzielnej przez 10. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 10 to 10, a największa to 90. Liczby podzielne przez 10 tworzą ciąg arytmetyczny: 10, 20, 30, ..., 90.

90 = 10 + (n-1)10 80 = (n-1)10 8 = n-1 n = 9

Zatem mamy 9 liczb dwucyfrowych podzielnych przez 10. P(A i B) = 9/90 = 1/10. P(B) to prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej, co już ustaliliśmy, że wynosi 1/2. Zatem:

P(podzielna przez 5 | parzysta) = (1/10) / (1/2) = 1/5.

Rozważmy jeszcze jeden przykład prawdopodobieństwa warunkowego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest większa od 50, pod warunkiem, że jest nieparzysta? Musimy obliczyć P(większa od 50 | nieparzysta).

Najpierw znajdźmy prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej. Skoro połowa liczb dwucyfrowych jest parzysta (45 liczb), to druga połowa jest nieparzysta (również 45 liczb). Zatem P(nieparzysta) = 45/90 = 1/2.

Teraz musimy znaleźć prawdopodobieństwo wylosowania liczby większej od 50 i nieparzystej. Liczby dwucyfrowe nieparzyste większe od 50 to 51, 53, 55, ..., 99. Jest to ciąg arytmetyczny.

99 = 51 + (n-1)2 48 = (n-1)2 24 = n-1 n = 25

Zatem mamy 25 liczb dwucyfrowych nieparzystych większych od 50. P(większa od 50 i nieparzysta) = 25/90 = 5/18.

Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe:

P(większa od 50 | nieparzysta) = (5/18) / (1/2) = 5/9.

Mam nadzieję, że to szczegółowe omówienie pomoże Wam zrozumieć zagadnienia związane z losowym wyborem liczb ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych. Pamiętajcie, że kluczem jest precyzyjne zdefiniowanie przestrzeni zdarzeń elementarnych i umiejętność identyfikowania zdarzeń sprzyjających. Dalsze pytania są mile widziane.