Zaznacz Na Trzech Różnych Osiach Podane Zbiory Liczbowe

Okej, rozważmy sobie zadanie, gdzie mamy zaznaczyć różne zbiory liczbowe na osiach liczbowych. Użyjemy trzech różnych osi dla każdego zbioru, żeby było to jasne.

Na początek, przypomnijmy sobie, czym jest oś liczbowa. To po prostu linia prosta, na której umieszczamy liczby w kolejności od najmniejszej do największej. Punktem centralnym jest zazwyczaj zero, a na prawo od zera mamy liczby dodatnie, a na lewo – ujemne.

Weźmy na pierwszy ogień zbiór: A = {x ∈ R: -2 ≤ x < 3}.

Oś 1: Zbiór A = {x ∈ R: -2 ≤ x < 3}

Rysujemy oś liczbową. Zaznaczamy zero (0). Teraz szukamy liczb -2 i 3. Zaznaczamy je na osi, pamiętając, że -2 jest na lewo od zera, a 3 na prawo.

Ponieważ w zbiorze A mamy nierówność "-2 ≤ x", oznacza to, że -2 należy do naszego zbioru. Zatem nad liczbą -2 rysujemy zamalowaną kropkę (lub nawias kwadratowy skierowany w stronę zbioru: [).

Natomiast mamy nierówność "x < 3", co oznacza, że 3 NIE należy do zbioru. Zatem nad liczbą 3 rysujemy niezamalowaną kropkę (lub nawias okrągły skierowany w stronę od zbioru: )).

Na koniec, zaznaczamy grubszą linią (lub kolorem) cały odcinek pomiędzy -2 a 3. Oznacza to, że wszystkie liczby pomiędzy -2 (włącznie) a 3 (bez 3) należą do zbioru A.

Koniec! Mamy zaznaczony zbiór A na osi liczbowej.

Teraz spójrzmy na inny zbiór, na przykład: B = {x ∈ Z: -1 < x ≤ 4}. Zauważmy, że tutaj mamy "x ∈ Z", co oznacza, że interesują nas tylko LICZBY CAŁKOWITE.

Oś 2: Zbiór B = {x ∈ Z: -1 < x ≤ 4}

Rysujemy kolejną oś liczbową. Zaznaczamy zero (0). Szukamy liczb -1 i 4. Zaznaczamy je na osi.

Mamy nierówność "-1 < x", czyli -1 NIE należy do naszego zbioru. Ale interesują nas tylko liczby CAŁKOWITE większe od -1. Pierwszą taką liczbą jest 0. Zaznaczamy więc zamalowaną kropkę nad liczbą 0.

Następną liczbą całkowitą większą od -1 jest 1. Zaznaczamy zamalowaną kropkę nad liczbą 1.

Podobnie zaznaczamy zamalowane kropki nad liczbami 2 i 3.

Mamy nierówność "x ≤ 4", czyli 4 należy do zbioru. Zaznaczamy więc zamalowaną kropkę nad liczbą 4.

Ważne: W tym przypadku NIE rysujemy linii łączącej kropki! Ponieważ interesują nas tylko liczby CAŁKOWITE, a nie wszystkie liczby pomiędzy nimi.

Gotowe! Zbiór B jest zaznaczony na osi liczbowej.

Na koniec, weźmy zbiór, który zawiera przedziały: C = (-∞, 1) ∪ <5, +∞). Symbol "∪" oznacza "suma zbiorów". To znaczy, że zbiór C składa się ze wszystkich liczb z przedziału (-∞, 1) ORAZ ze wszystkich liczb z przedziału <5, +∞).

Oś 3: Zbiór C = (-∞, 1) ∪ <5, +∞)

Rysujemy trzecią oś liczbową. Zaznaczamy zero (0). Szukamy liczb 1 i 5. Zaznaczamy je na osi.

Przedział (-∞, 1) oznacza wszystkie liczby mniejsze od 1. Symbol "-∞" (minus nieskończoność) oznacza, że idziemy w lewo w nieskończoność. Zatem nad liczbą 1 rysujemy niezamalowaną kropkę (bo w przedziale mamy nawias okrągły - liczba 1 nie należy do zbioru). Następnie rysujemy grubą linię w lewo od 1, aż do końca osi. Możemy też narysować strzałkę w lewo, żeby zaznaczyć, że idziemy w nieskończoność.

Przedział <5, +∞) oznacza wszystkie liczby większe lub równe 5. Symbol "+∞" (plus nieskończoność) oznacza, że idziemy w prawo w nieskończoność. Zatem nad liczbą 5 rysujemy zamalowaną kropkę (bo w przedziale mamy nawias ostry - liczba 5 należy do zbioru). Następnie rysujemy grubą linię w prawo od 5, aż do końca osi. Możemy też narysować strzałkę w prawo, żeby zaznaczyć, że idziemy w nieskończoność.

Mamy zaznaczony zbiór C! To suma dwóch "półprostych".

Różne Rodzaje Zbiorów i Nierówności

Warto jeszcze wspomnieć o różnych typach nierówności i jak je zaznaczać:

x > a - "x jest większe od a". Oznacza, że liczba 'a' NIE należy do zbioru. Zaznaczamy niezamalowaną kropkę nad 'a' i linię w prawo. (Nawias okrągły od strony a: (a, +∞)).
x ≥ a - "x jest większe lub równe a". Oznacza, że liczba 'a' należy do zbioru. Zaznaczamy zamalowaną kropkę nad 'a' i linię w prawo. (Nawias kwadratowy od strony a: [a, +∞)).
x < a - "x jest mniejsze od a". Oznacza, że liczba 'a' NIE należy do zbioru. Zaznaczamy niezamalowaną kropkę nad 'a' i linię w lewo. (Nawias okrągły od strony a: (-∞, a)).
x ≤ a - "x jest mniejsze lub równe a". Oznacza, że liczba 'a' należy do zbioru. Zaznaczamy zamalowaną kropkę nad 'a' i linię w lewo. (Nawias kwadratowy od strony a: (-∞, a]).
a < x < b - "x jest większe od a i mniejsze od b". Oznacza, że ani 'a' ani 'b' nie należą do zbioru. Zaznaczamy niezamalowane kropki nad 'a' i 'b' i linię pomiędzy nimi. (Nawiasy okrągłe: (a, b)).
a ≤ x ≤ b - "x jest większe lub równe a i mniejsze lub równe b". Oznacza, że 'a' i 'b' należą do zbioru. Zaznaczamy zamalowane kropki nad 'a' i 'b' i linię pomiędzy nimi. (Nawiasy kwadratowe: [a, b]).
a < x ≤ b - "x jest większe od a i mniejsze lub równe b". Oznacza, że 'a' nie należy, a 'b' należy do zbioru. (Nawias okrągły przy a, kwadratowy przy b: (a, b]).
a ≤ x < b - "x jest większe lub równe a i mniejsze od b". Oznacza, że 'a' należy, a 'b' nie należy do zbioru. (Nawias kwadratowy przy a, okrągły przy b: [a, b)).

Podsumowanie

Pamiętaj, żeby zwracać uwagę na:

Czy liczba należy do zbioru (zamalowana kropka lub nawias kwadratowy).
Czy liczba nie należy do zbioru (niezamalowana kropka lub nawias okrągły).
Czy mamy do czynienia z liczbami całkowitymi (tylko kropki, bez linii).
Czy mamy do czynienia z liczbami rzeczywistymi (linia między kropkami).
Czy mamy do czynienia z sumą zbiorów (dwa oddzielne przedziały).
Symbole nieskończoności - w którą stronę rozciąga się zbiór.

Praktyka czyni mistrza! Spróbuj rozwiązać więcej przykładów, a zaznaczanie zbiorów na osiach liczbowych stanie się dla Ciebie proste i przyjemne. Powodzenia!