Zastąp Symbole Odpowiednimi Liczbami Pierwiastek Z 12

Zastąpienie symboli odpowiednimi liczbami to zadanie, które często pojawia się w matematyce, a także w różnego rodzaju łamigłówkach logicznych. Jednym z przykładów, gdzie to zagadnienie jest istotne, jest upraszczanie wyrażeń zawierających pierwiastki. Weźmy na warsztat pierwiastek kwadratowy z liczby 12: √12. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że to gotowa odpowiedź, ale w rzeczywistości możemy to wyrażenie uprościć, znajdując odpowiednie czynniki i zastępując nimi symbole.

Pierwszym krokiem jest znalezienie czynników liczby 12. Wiemy, że 12 można zapisać jako iloczyn różnych par liczb: 1 x 12, 2 x 6, 3 x 4. Która z tych par będzie najbardziej przydatna? Szukamy takiej pary, gdzie jedna z liczb jest kwadratem innej liczby całkowitej. W tym przypadku widzimy, że 4 jest kwadratem liczby 2 (2 x 2 = 4). Zatem, możemy zapisać 12 jako 4 x 3.

Teraz możemy wrócić do naszego pierwiastka: √12. Zastąpimy 12 iloczynem 4 x 3: √12 = √(4 x 3).

Następnie korzystamy z własności pierwiastków, która mówi, że pierwiastek z iloczynu dwóch liczb jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb: √(a x b) = √a x √b. Zatem, √(4 x 3) = √4 x √3.

Wiemy, że √4 = 2, ponieważ 2 x 2 = 4. Stąd, √4 x √3 = 2 x √3. Ostatecznie, możemy zapisać √12 jako 2√3.

W ten sposób dokonaliśmy zamiany, zastępując √12 prostszym wyrażeniem 2√3. Chociaż wartość liczbowa jest taka sama, forma 2√3 jest bardziej zwięzła i często bardziej użyteczna w dalszych obliczeniach.

Podobne podejście można zastosować do upraszczania innych pierwiastków kwadratowych. Kluczowe jest znalezienie idealnego kwadratu, który jest czynnikiem liczby pod pierwiastkiem.

Upraszczanie innych wyrażeń z pierwiastkami

Rozważmy teraz inny przykład: √75. Chcemy znaleźć idealny kwadrat, który jest czynnikiem liczby 75. Rozpoczynamy od rozłożenia 75 na czynniki: 1 x 75, 3 x 25, 5 x 15. Widzimy, że 25 jest kwadratem liczby 5 (5 x 5 = 25). Zatem możemy zapisać 75 jako 25 x 3.

Teraz, √75 = √(25 x 3). Korzystając z własności pierwiastków, √(25 x 3) = √25 x √3.

Wiemy, że √25 = 5, ponieważ 5 x 5 = 25. Zatem, √25 x √3 = 5 x √3. Ostatecznie, √75 = 5√3.

Kolejny przykład: √48. Czynniki liczby 48 to: 1 x 48, 2 x 24, 3 x 16, 4 x 12, 6 x 8. Widzimy, że 16 jest kwadratem liczby 4 (4 x 4 = 16). Możemy zapisać 48 jako 16 x 3.

√48 = √(16 x 3). Zatem, √(16 x 3) = √16 x √3.

√16 = 4, ponieważ 4 x 4 = 16. Stąd, √16 x √3 = 4 x √3. Ostatecznie, √48 = 4√3.

Zastosowanie tej metody wymaga wprawy w rozpoznawaniu idealnych kwadratów i rozkładaniu liczb na czynniki. Im więcej przykładów przeanalizujesz, tym łatwiej będzie Ci dostrzegać odpowiednie czynniki i upraszczać wyrażenia z pierwiastkami.

Złożone wyrażenia z pierwiastkami

Co się stanie, jeśli mamy wyrażenie, w którym występuje kilka pierwiastków i operacji na nich? Wtedy upraszczanie wymaga połączenia kilku kroków.

Rozważmy wyrażenie: 3√8 + 2√18 - √32.

Najpierw upraszczamy każdy pierwiastek oddzielnie.

√8 = √(4 x 2) = √4 x √2 = 2√2 √18 = √(9 x 2) = √9 x √2 = 3√2 √32 = √(16 x 2) = √16 x √2 = 4√2

Teraz zastępujemy pierwiastki w oryginalnym wyrażeniu ich uproszczonymi formami:

3√8 + 2√18 - √32 = 3(2√2) + 2(3√2) - 4√2 = 6√2 + 6√2 - 4√2.

Teraz możemy połączyć podobne wyrazy:

6√2 + 6√2 - 4√2 = (6 + 6 - 4)√2 = 8√2.

Zatem, 3√8 + 2√18 - √32 = 8√2.

W tym przykładzie kluczowe było uproszczenie każdego pierwiastka oddzielnie, a następnie połączenie podobnych wyrażeń. To pokazuje, że umiejętność upraszczania pojedynczych pierwiastków jest podstawą do radzenia sobie z bardziej skomplikowanymi wyrażeniami.

Upraszczanie pierwiastków nie tylko ułatwia obliczenia, ale także pomaga w lepszym zrozumieniu struktury liczb i ich wzajemnych zależności. To ważna umiejętność w matematyce i w wielu dziedzinach nauki i techniki.