Zapisz Za Pomocą Przedziału Zbiór Wszystkich Liczb Spełniających Warunek

Dobrze, rozważmy zatem problem zapisu zbiorów liczb spełniających dany warunek za pomocą przedziałów. Jest to podstawowa umiejętność w analizie matematycznej, która pozwala nam w klarowny i zwięzły sposób przedstawiać rozwiązania nierówności, określać dziedziny funkcji i opisywać różne inne zbiory liczbowe.

Zacznijmy od definicji. Przedział to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych zawartych pomiędzy dwiema ustalonymi liczbami, zwanymi końcami przedziału. Końce przedziału mogą, ale nie muszą, należeć do tego przedziału. W zależności od tego, czy końce należą do przedziału, mamy do czynienia z przedziałami domkniętymi, otwartymi lub półotwartymi (półdomkniętymi).

Przedział domknięty o końcach a i b, gdzie a ≤ b, oznaczamy symbolem [a, b]. Zawiera on wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że a ≤ x ≤ b. Na przykład, przedział [2, 5] zawiera wszystkie liczby od 2 do 5, włącznie z 2 i 5.

Przedział otwarty o końcach a i b, gdzie a < b, oznaczamy symbolem (a, b). Zawiera on wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że a < x < b. Końce a i b nie należą do tego przedziału. Na przykład, przedział (2, 5) zawiera wszystkie liczby większe od 2 i mniejsze od 5, ale nie zawiera 2 ani 5.

Przedziały półotwarte (półdomknięte) to kombinacja przedziałów otwartych i domkniętych. Mamy dwa rodzaje:

• [a, b) – zawiera wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że a ≤ x < b. a należy do przedziału, b nie należy. Na przykład, przedział [2, 5) zawiera wszystkie liczby od 2 (włącznie) do 5 (bez 5).
• (a, b] – zawiera wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że a < x ≤ b. b należy do przedziału, a nie należy. Na przykład, przedział (2, 5] zawiera wszystkie liczby od 2 (bez 2) do 5 (włącznie).

Oprócz przedziałów ograniczonych (tj. takich, które mają dwa końce będące liczbami rzeczywistymi), mamy również przedziały nieograniczone. Są to zbiory liczb, które rozciągają się w nieskończoność w jedną lub obie strony. Stosujemy wtedy symbole +∞ (plus nieskończoność) i -∞ (minus nieskończoność). Nieskończoność zawsze zapisujemy z nawiasem otwartym, ponieważ nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do przedziału.

• [a, +∞) – zawiera wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że x ≥ a.
• (a, +∞) – zawiera wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że x > a.
• (-∞, b] – zawiera wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że x ≤ b.
• (-∞, b) – zawiera wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że x < b.
• (-∞, +∞) – to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, oznaczany również symbolem ℝ.

Aby zapisać zbiór liczb spełniających dany warunek za pomocą przedziału, musimy najpierw rozwiązać nierówność lub równanie, które opisuje ten warunek. Następnie, na podstawie otrzymanego rozwiązania, określamy odpowiedni przedział lub sumę przedziałów. Rozważmy kilka przykładów:

1. Zapisz za pomocą przedziału zbiór liczb spełniających warunek x > 3.

   Rozwiązanie: Warunek ten oznacza, że x jest większe od 3. Zatem, zbiór liczb spełniających ten warunek to przedział (3, +∞).

2. Zapisz za pomocą przedziału zbiór liczb spełniających warunek x ≤ -2.

   Rozwiązanie: Warunek ten oznacza, że x jest mniejsze lub równe -2. Zatem, zbiór liczb spełniających ten warunek to przedział (-∞, -2].

3. Zapisz za pomocą przedziału zbiór liczb spełniających warunek 1 < x ≤ 5.

   Rozwiązanie: Warunek ten oznacza, że x jest większe od 1 i mniejsze lub równe 5. Zatem, zbiór liczb spełniających ten warunek to przedział (1, 5].

4. Zapisz za pomocą przedziału zbiór liczb spełniających warunek |x| < 4.

   Rozwiązanie: Warunek ten oznacza, że odległość x od zera jest mniejsza od 4. Zatem, -4 < x < 4. Zbiór liczb spełniających ten warunek to przedział (-4, 4).

5. Zapisz za pomocą przedziału zbiór liczb spełniających warunek x² ≤ 9.

   Rozwiązanie: Warunek ten oznacza, że x² - 9 ≤ 0. Rozkładamy na czynniki: (x - 3)(x + 3) ≤ 0. Zatem, -3 ≤ x ≤ 3. Zbiór liczb spełniających ten warunek to przedział [-3, 3].

6. Zapisz za pomocą przedziału zbiór liczb spełniających warunek x² > 16.

   Rozwiązanie: Warunek ten oznacza, że x² - 16 > 0. Rozkładamy na czynniki: (x - 4)(x + 4) > 0. Zatem, x < -4 lub x > 4. Zbiór liczb spełniających ten warunek to suma przedziałów (-∞, -4) ∪ (4, +∞).

7. Zapisz za pomocą przedziału zbiór liczb spełniających warunek (x-1)/(x+2) > 0.

   Rozwiązanie: Analizujemy znak ilorazu (x-1)/(x+2). Miejsca zerowe to x=1 oraz x=-2. Zatem mamy trzy przedziały: (-∞, -2), (-2, 1), (1, +∞). Sprawdzamy znak ilorazu w każdym z tych przedziałów. Dla x < -2, (x-1) jest ujemne i (x+2) jest ujemne, więc iloraz jest dodatni. Dla -2 < x < 1, (x-1) jest ujemne i (x+2) jest dodatnie, więc iloraz jest ujemny. Dla x > 1, (x-1) jest dodatnie i (x+2) jest dodatnie, więc iloraz jest dodatni. Zatem zbiór liczb spełniających ten warunek to suma przedziałów (-∞, -2) ∪ (1, +∞).

Operacje na przedziałach

Bardzo często mamy do czynienia z sytuacjami, gdy potrzebujemy wykonać operacje na przedziałach, takie jak suma, iloczyn (część wspólna) czy różnica.

• Suma przedziałów (oznaczana symbolem ∪) to zbiór wszystkich elementów, które należą do przynajmniej jednego z tych przedziałów. Na przykład, [1, 3] ∪ [2, 5] = [1, 5].
• Iloczyn przedziałów (część wspólna) (oznaczany symbolem ∩) to zbiór wszystkich elementów, które należą do wszystkich rozważanych przedziałów. Na przykład, [1, 3] ∩ [2, 5] = [2, 3].
• Różnica przedziałów (oznaczana symbolem ) to zbiór wszystkich elementów, które należą do pierwszego przedziału, ale nie należą do drugiego przedziału. Na przykład, [1, 5] \ [2, 3] = [1, 2) ∪ (3, 5].

Zastosowania przedziałów

Przedziały są niezwykle przydatne w wielu dziedzinach matematyki i nauk pokrewnych. Używamy ich do:

• Określania dziedziny funkcji. Na przykład, dziedziną funkcji f(x) = √(x - 2) jest przedział [2, +∞).
• Określania zbioru wartości funkcji.
• Rozwiązywania nierówności.
• Opisywania zbiorów rozwiązań równań.
• Modelowania różnych zjawisk fizycznych i ekonomicznych.

Zastosowanie przedziałów pozwala na zwięzłe i czytelne przedstawienie zbiorów liczb spełniających określone warunki, co ułatwia analizę i rozwiązywanie problemów matematycznych. Bardzo istotne jest precyzyjne określenie, czy końce przedziału należą do tego przedziału, czy nie, ponieważ ma to wpływ na poprawność rozwiązania.