Zapisz W Postaci Jak Najprostszej Sumy Algebraicznej

Wyrażenia algebraiczne to fundament matematyki, umożliwiający zapisywanie i rozwiązywanie problemów w sposób ogólny i abstrakcyjny. Często napotykamy na skomplikowane wyrażenia, które, aby móc z nich efektywnie korzystać, wymagają uproszczenia do najprostszej postaci sumy algebraicznej. Proces ten polega na wykonaniu szeregu operacji, które pozwalają na redukcję liczby składników i uproszczenie samych składników, bez zmiany wartości całego wyrażenia. Zapisywanie w postaci jak najprostszej sumy algebraicznej jest kluczową umiejętnością, która przydaje się nie tylko w matematyce, ale również w fizyce, informatyce i innych dziedzinach nauki i techniki.

Rozważmy wyrażenie: 3x + 2y – 5x + 7y – x + 4. Aby zapisać je w postaci najprostszej sumy algebraicznej, musimy połączyć wyrazy podobne. Oznacza to zebranie razem tych składników, które zawierają te same zmienne w tych samych potęgach. W tym przypadku mamy wyrazy z x, wyrazy z y i wyrazy stałe.

Łączymy wyrazy z x: 3x – 5x – x = (3 – 5 – 1)x = -3x. Następnie łączymy wyrazy z y: 2y + 7y = (2 + 7)y = 9y. Wyraz stały to po prostu 4.

Zatem, po uproszczeniu, otrzymujemy: -3x + 9y + 4. To jest najprostsza postać sumy algebraicznej dla danego wyrażenia.

Weźmy teraz wyrażenie bardziej skomplikowane: 2(a + 3b) – 4(2a – b) + 5a. Tutaj musimy najpierw pozbyć się nawiasów, wykonując mnożenie.

Rozwijamy pierwszy nawias: 2(a + 3b) = 2a + 6b. Rozwijamy drugi nawias: -4(2a – b) = -8a + 4b. (Pamiętaj o zmianie znaku ze względu na minus przed nawiasem).

Teraz możemy zapisać całe wyrażenie bez nawiasów: 2a + 6b – 8a + 4b + 5a. Łączymy wyrazy z a: 2a – 8a + 5a = (2 – 8 + 5)a = -1a = -a. Łączymy wyrazy z b: 6b + 4b = (6 + 4)b = 10b.

Zatem, po uproszczeniu, otrzymujemy: -a + 10b.

Kolejny przykład: (x + 2)(x – 3) + 4x. W tym przypadku mamy mnożenie dwóch nawiasów. Musimy pomnożyć każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu.

(x + 2)(x – 3) = xx + x(-3) + 2x + 2(-3) = x² – 3x + 2x – 6 = x² – x – 6.

Teraz możemy zapisać całe wyrażenie: x² – x – 6 + 4x. Łączymy wyrazy z x: – x + 4x = (-1 + 4)x = 3x. Wyraz z x² i wyraz stały pozostają bez zmian.

Zatem, po uproszczeniu, otrzymujemy: x² + 3x – 6.

A teraz wyrażenie z potęgami: 3x² + 5x – 2x² + x³ – 7x + 2.

Łączymy wyrazy z x²: 3x² – 2x² = (3 – 2)x² = x². Łączymy wyrazy z x: 5x – 7x = (5 – 7)x = -2x. Wyraz z x³ i wyraz stały pozostają bez zmian.

Zatem, po uproszczeniu, otrzymujemy: x³ + x² – 2x + 2. Zazwyczaj uporządkowujemy wyrażenia algebraiczne w kolejności malejących potęg zmiennej.

Weźmy wyrażenie z ułamkami: (1/2)x + (3/4)y – (1/4)x + (1/2)y.

Łączymy wyrazy z x: (1/2)x – (1/4)x = (2/4)x – (1/4)x = (1/4)x. Łączymy wyrazy z y: (3/4)y + (1/2)y = (3/4)y + (2/4)y = (5/4)y.

Zatem, po uproszczeniu, otrzymujemy: (1/4)x + (5/4)y.

Wyrażenia z pierwiastkami

Rozważmy wyrażenie: 2√x + 5y – 3√x + 2y – √x + 1.

Łączymy wyrazy z √x: 2√x – 3√x – √x = (2 – 3 – 1)√x = -2√x. Łączymy wyrazy z y: 5y + 2y = (5 + 2)y = 7y. Wyraz stały to po prostu 1.

Zatem, po uproszczeniu, otrzymujemy: -2√x + 7y + 1.

Bardziej złożone przykłady

Spójrzmy na: 5(a – 2b) + 3(2a + b) – (a – b).

Rozwijamy pierwszy nawias: 5(a – 2b) = 5a – 10b. Rozwijamy drugi nawias: 3(2a + b) = 6a + 3b. Rozwijamy trzeci nawias: –(a – b) = -a + b.

Teraz zapisujemy całe wyrażenie bez nawiasów: 5a – 10b + 6a + 3b – a + b. Łączymy wyrazy z a: 5a + 6a – a = (5 + 6 – 1)a = 10a. Łączymy wyrazy z b: -10b + 3b + b = (-10 + 3 + 1)b = -6b.

Zatem, po uproszczeniu, otrzymujemy: 10a – 6b.

Na koniec, przeanalizujmy: (2x – 1)² + 3x – 4. Pamiętajmy, że (2x – 1)² to (2x – 1)(2x – 1).

Rozwijamy (2x – 1)(2x – 1) = 2x * 2x + 2x * (-1) + (-1) * 2x + (-1) * (-1) = 4x² – 2x – 2x + 1 = 4x² – 4x + 1.

Teraz możemy zapisać całe wyrażenie: 4x² – 4x + 1 + 3x – 4. Łączymy wyrazy z x: -4x + 3x = (-4 + 3)x = -x. Łączymy wyrazy stałe: 1 – 4 = -3.

Zatem, po uproszczeniu, otrzymujemy: 4x² – x – 3.

Zapisywanie wyrażeń algebraicznych w postaci jak najprostszej sumy algebraicznej wymaga przestrzegania kilku podstawowych zasad: kolejności wykonywania działań, łączenia wyrazów podobnych oraz ostrożności przy operowaniu na znakach. Regularna praktyka i rozwiązywanie różnorodnych przykładów pozwalają na opanowanie tej umiejętności i skuteczne wykorzystywanie jej w rozwiązywaniu problemów matematycznych i nie tylko. Pamiętajmy, że uproszczenie wyrażenia nie zmienia jego wartości, a jedynie prezentuje je w bardziej czytelnej i użytecznej formie.