Zapisz Dany Zbiór Za Pomocą Przedziału Lub Sumy Przedziałów

Dobrze, przygotujmy artykuł tłumaczący, jak zapisywać zbiory za pomocą przedziałów lub sumy przedziałów.

Zapisywanie zbiorów za pomocą przedziałów jest bardzo przydatnym sposobem na przedstawienie, jakie liczby należą do danego zbioru. Robimy to, używając specjalnych nawiasów i liczb, które oznaczają początek i koniec zbioru.

Przede wszystkim musimy wiedzieć, jakie mamy typy przedziałów. Mamy przedziały otwarte, domknięte i mieszane (półotwarte).

Przedział domknięty oznacza, że końce przedziału należą do zbioru. Używamy wtedy nawiasów kwadratowych [ ]. Na przykład, zapis [2, 5] oznacza, że do zbioru należą wszystkie liczby od 2 do 5, włącznie z 2 i 5. Czyli 2, 3, 4 i 5, a także wszystkie liczby pomiędzy nimi, jak 2.5, 3.14, czy 4.999.

Przedział otwarty oznacza, że końce przedziału NIE należą do zbioru. Używamy wtedy nawiasów okrągłych ( ). Na przykład, zapis (2, 5) oznacza, że do zbioru należą wszystkie liczby pomiędzy 2 a 5, ale 2 i 5 już nie. Czyli 2.00001, 3, 4 i 4.99999 należą, ale 2 i 5 już nie.

Przedziały półotwarte (mieszane) to kombinacja przedziałów otwartych i domkniętych. Możemy mieć przedział otwarty z lewej strony i domknięty z prawej, np. (2, 5], co oznacza, że 2 nie należy do zbioru, ale 5 już tak. Albo możemy mieć przedział domknięty z lewej strony i otwarty z prawej, np. [2, 5), co oznacza, że 2 należy do zbioru, ale 5 już nie.

Zapisywanie pojedynczych liczb

Jeśli chcemy zapisać tylko pojedynczą liczbę, możemy użyć zapisu zbioru: {x}, gdzie x jest liczbą. Na przykład, {3} oznacza zbiór, który zawiera tylko liczbę 3. To nie jest przedział, ale jest to sposób na zapisanie zbioru zawierającego konkretną liczbę.

Nieskończoność

Czasami zbiór rozciąga się w nieskończoność. Używamy wtedy symbolu nieskończoności: ∞ (dla plus nieskończoności) i -∞ (dla minus nieskończoności). Ważne jest, że zawsze używamy nawiasu okrągłego przy nieskończoności, ponieważ nieskończoność nie jest konkretną liczbą i nigdy nie możemy jej "osiągnąć".

Na przykład:

• (2, ∞) oznacza wszystkie liczby większe od 2 (bez 2).
• (-∞, 5] oznacza wszystkie liczby mniejsze lub równe 5.
• (-∞, ∞) oznacza wszystkie liczby rzeczywiste.

Suma przedziałów

Czasami zbiór składa się z kilku oddzielnych przedziałów. Wtedy używamy symbolu sumy: ∪. To oznacza "lub". Na przykład, jeśli chcemy zapisać zbiór, który zawiera liczby od 1 do 3 oraz liczby od 5 do 7, to zapiszemy to tak: [1, 3] ∪ [5, 7]. To oznacza, że do zbioru należą liczby z przedziału [1, 3] lub liczby z przedziału [5, 7].

Przykłady

Zobaczmy kilka przykładów, żeby to lepiej zrozumieć:

1. Zbiór liczb większych niż 0 i mniejszych lub równych 10: (0, 10]
2. Zbiór liczb mniejszych lub równych -5: (-∞, -5]
3. Zbiór liczb większych niż -2: (-2, ∞)
4. Zbiór liczb od -3 do 0, włącznie z -3 i 0, oraz liczby 5: [-3, 0] ∪ {5}
5. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem liczby 4: (-∞, 4) ∪ (4, ∞) (Zauważ, że używamy przedziałów otwartych wokół 4, aby wykluczyć tę liczbę).
6. Zbiór liczb całkowitych dodatnich: {1, 2, 3, 4, 5, ...} - w tym przypadku nie możemy zapisać tego za pomocą przedziału lub sumy przedziałów w sposób skończony. Potrzebny byłby zapis wykorzystujący notację zbiorów z kropkami oznaczającymi kontynuację.

Jak to robić?

1. Zrozum treść zadania: Przeczytaj uważnie, jakie liczby mają należeć do zbioru. Zwróć uwagę na słowa kluczowe, takie jak "większe niż", "mniejsze niż", "większe lub równe", "mniejsze lub równe", "pomiędzy", "włącznie z".
2. Określ końce przedziału: Znajdź najmniejszą i największą liczbę, która ma należeć do zbioru (jeśli istnieją).
3. Wybierz odpowiednie nawiasy: Użyj nawiasów kwadratowych [ ] dla liczb, które należą do zbioru (domknięty przedział), i nawiasów okrągłych ( ) dla liczb, które nie należą do zbioru (otwarty przedział).
4. Użyj symbolu nieskończoności: Jeśli zbiór rozciąga się w nieskończoność, użyj ∞ lub -∞.
5. Użyj sumy przedziałów: Jeśli zbiór składa się z kilku oddzielnych części, połącz je symbolem ∪.

Więcej przykładów sumy przedziałów

Załóżmy, że mamy zbiór liczb, które są mniejsze od -1 lub większe od 3. Wtedy zapisujemy to tak: (-∞, -1) ∪ (3, ∞). Zauważ, że używamy nawiasów okrągłych przy -1 i 3, ponieważ w zadaniu jest mowa o liczbach mniejszych niż -1 i większych niż 3, a nie "mniejszych lub równych" albo "większych lub równych".

Inny przykład: zbiór liczb, które są pomiędzy 0 a 2 (włącznie) lub równe 5. Zapisujemy to tak: [0, 2] ∪ {5}. Tutaj mamy przedział domknięty [0, 2] i zbiór jednoelementowy {5}.

Kiedy używać sumy przedziałów?

Suma przedziałów jest potrzebna, gdy zbiór liczb jest "rozproszony", czyli nie tworzy jednego ciągłego przedziału. Na przykład:

• Gdy mamy warunek "lub" (np. "liczby mniejsze niż X lub większe niż Y").
• Gdy chcemy wykluczyć pewne liczby ze zbioru (np. "wszystkie liczby z wyjątkiem liczby Z").
• Gdy mamy kilka oddzielnych przedziałów liczb, które należą do zbioru.

Pamiętaj, że zapisywanie zbiorów za pomocą przedziałów lub sumy przedziałów to potężne narzędzie, które pozwala nam precyzyjnie opisywać, jakie liczby należą do danego zbioru. Wymaga to jedynie odrobiny praktyki i zrozumienia, jak działają różne typy przedziałów i symbole. Ćwicz, a szybko opanujesz tę umiejętność! Pamiętaj, że poprawne określenie, czy dany koniec przedziału należy do zbioru, czy nie, jest kluczowe dla poprawnego zapisu. Powodzenia!