Zamiana Ułamka Okresowego Na Zwykły

Hej wszystkim! Zastanawialiście się kiedyś, jak zamienić liczbę z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym okresowym, czyli tzw. ułamek okresowy, na zwykły ułamek, taki, który ma licznik i mianownik?

Na pierwszy rzut oka może to wydawać się skomplikowane, ale obiecuję, że po przeczytaniu tego artykułu, będziecie to robić z łatwością. Zaczniemy od podstaw i krok po kroku przejdziemy przez wszystkie etapy. Gotowi?

Czym jest ułamek okresowy?

Zacznijmy od definicji. Ułamek okresowy to liczba dziesiętna, w której pewna grupa cyfr powtarza się w nieskończoność po przecinku. Ta powtarzająca się grupa cyfr nazywana jest okresem.

Przykłady:

• 0,33333... (okres to 3)
• 1,272727... (okres to 27)
• 0,142857142857... (okres to 142857)

Oznaczenie: Ułamek okresowy często zapisujemy z kreską nad okresem, np.:

• 0,33333... = 0,3
• 1,272727... = 1,27
• 0,142857142857... = 0,142857

Wyobraźmy sobie, że dzielimy pizzę na 3 części. Każda osoba dostaje 1/3 pizzy. Wyrażone dziesiętnie, 1/3 to 0,3333... czyli ułamek okresowy. Chcemy teraz odwrócić sytuację: mamy liczbę 0,3 i chcemy dowiedzieć się, jaki to ułamek zwykły.

Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły - krok po kroku

Istnieje kilka metod, ale skupimy się na najbardziej uniwersalnej i łatwej do zrozumienia.

Krok 1: Oznaczenie ułamka okresowego jako niewiadomą

Oznaczamy nasz ułamek okresowy literą x. Na przykład, jeśli chcemy zamienić 0,3 na ułamek zwykły, piszemy:

x = 0,3

Krok 2: Przesunięcie przecinka dziesiętnego

Teraz musimy pomnożyć x przez potęgę liczby 10, tak aby okres znalazł się przed przecinkiem i powtarzał się po nim. Ważne jest, żeby przesunąć przecinek o tyle miejsc, ile cyfr ma nasz okres.

W naszym przykładzie, okres to "3", który ma jedną cyfrę. Dlatego mnożymy obie strony równania przez 10:

10x = 3,3

Jeśli okres miałby dwie cyfry (np. 0,27), pomnożylibyśmy przez 100:

x = 0,27 -> 100x = 27,27

A jeśli okres miałby trzy cyfry (np. 0,123), pomnożylibyśmy przez 1000:

x = 0,123 -> 1000x = 123,123

Krok 3: Odejmowanie równań

Teraz odejmujemy pierwsze równanie (x = 0,3) od drugiego równania (10x = 3,3). Kluczem jest to, że po przecinku mamy te same cyfry, dzięki czemu po odjęciu znikają.

10x = 3,3 - x = 0,3 ------------------ 9x = 3

Po odjęciu, ułamek okresowy znika! Zostaje nam proste równanie do rozwiązania.

Krok 4: Rozwiązanie równania

Teraz musimy rozwiązać równanie 9x = 3. Dzielimy obie strony równania przez 9:

9x = 3 -> x = 3/9

Krok 5: Uproszczenie ułamka

Na koniec upraszczamy ułamek 3/9, dzieląc licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik, czyli 3:

x = 3/9 = 1/3

Więc 0,3 = 1/3. Udało się!

Przykłady - Zastosowanie w praktyce

Przejdźmy przez kilka kolejnych przykładów, aby utrwalić wiedzę.

Przykład 1: Zamiana 0,27 na ułamek zwykły

1. Oznaczamy: x = 0,27
2. Przesuwamy przecinek (okres ma 2 cyfry, więc mnożymy przez 100): 100x = 27,27
3. Odejmujemy:

   100x = 27,27 - x = 0,27 ------------------ 99x = 27

4. Rozwiązujemy: x = 27/99
5. Upraszczamy (dzielimy licznik i mianownik przez 9): x = 3/11

Więc 0,27 = 3/11.

Przykład 2: Zamiana 1,6 na ułamek zwykły

1. Oznaczamy: x = 1,6
2. Przesuwamy przecinek (okres ma 1 cyfrę, więc mnożymy przez 10): 10x = 16,6
3. Odejmujemy:

   10x = 16,6 - x = 1,6 ------------------ 9x = 15

4. Rozwiązujemy: x = 15/9
5. Upraszczamy (dzielimy licznik i mianownik przez 3): x = 5/3

Więc 1,6 = 5/3.

Co zrobić, gdy przed okresem są inne cyfry?

A co jeśli mamy liczbę, która ma cyfry przed okresem, np. 2,16? Wtedy musimy zrobić jeden dodatkowy krok.

Przykład 3: Zamiana 2,16 na ułamek zwykły

1. Oznaczamy: x = 2,16
2. Najpierw musimy przesunąć przecinek, aby okres zaczynał się zaraz za przecinkiem. W tym przypadku mnożymy przez 10: 10x = 21,6
3. Teraz postępujemy jak wcześniej: przesuwamy przecinek o długość okresu (1 cyfra), czyli mnożymy przez 10: 100x = 216,6
4. Odejmujemy drugie równanie (10x = 21,6) od trzeciego równania (100x = 216,6):

   100x = 216,6 - 10x = 21,6 ------------------ 90x = 195

5. Rozwiązujemy: x = 195/90
6. Upraszczamy (dzielimy licznik i mianownik przez 15): x = 13/6

Więc 2,16 = 13/6.

Podsumowanie

Zamiana ułamka okresowego na zwykły może wydawać się trudna na początku, ale jak widzicie, wystarczy postępować krok po kroku, a wszystko staje się jasne.

Pamiętajcie o:

• Oznaczeniu ułamka okresowego jako niewiadomą (x).
• Przesunięciu przecinka o odpowiednią liczbę miejsc (długość okresu).
• Odjęciu równań, aby pozbyć się okresu.
• Rozwiązaniu równania i uproszczeniu ułamka.

Ćwiczcie, rozwiązujcie przykłady, a szybko staniecie się mistrzami zamiany ułamków okresowych na zwykłe! Powodzenia!