Z Kwadratowej Płyty Gipsowej Odcięto Pas Szerokości 30 Cm

Mamy kwadratową płytę gipsową. Od niej odcinamy pas o szerokości 30 cm. Powstaje prostokąt. Pole tego prostokąta jest o 1800 cm² mniejsze od pola kwadratu. Chcemy dowiedzieć się, jakie wymiary ma kwadratowa płyta gipsowa.

Niech 'a' oznacza długość boku kwadratowej płyty gipsowej. Zatem pole kwadratu wynosi a².

Odcięty pas ma szerokość 30 cm i długość 'a' (bo to bok kwadratu). Pole odciętego pasa wynosi 30a.

Po odcięciu pasa, pozostaje prostokąt. Jego pole jest o 1800 cm² mniejsze od pola kwadratu. Oznacza to, że pole odciętego pasa (30a) jest równe 1800 cm².

Możemy zapisać równanie: 30a = 1800.

Dzielimy obie strony równania przez 30: a = 1800 / 30.

Zatem a = 60 cm.

Czyli bok kwadratowej płyty gipsowej miał długość 60 cm. Początkowa płyta miała wymiary 60 cm x 60 cm. Pole kwadratu wynosiło 60 cm * 60 cm = 3600 cm².

Odcięty pas miał wymiary 30 cm x 60 cm. Jego pole wynosiło 30 cm * 60 cm = 1800 cm².

Po odcięciu pasa, pozostał prostokąt o wymiarach 30 cm x 60 cm. Jego pole wynosi 30 cm * 60 cm = 1800 cm².

Sprawdzenie: Pole kwadratu (3600 cm²) minus pole prostokąta (1800 cm²) daje różnicę 1800 cm², co się zgadza z informacją w zadaniu.

Nowa sytuacja: Prostopadłościan

Wyobraźmy sobie, że zamiast odcinać pas, dodajemy do kwadratowej płyty gipsowej o boku 'a' drugi identyczny kwadrat, tworząc prostopadłościan o podstawie kwadratu i wysokości równej grubości płyty. Objętość powstałego prostopadłościanu jest zależna od grubości płyty, ale powierzchnia całkowita wzrasta o pole jednego kwadratu (gdyż stykają się dwa kwadraty, które przestają być częścią powierzchni).

Powróćmy do oryginalnej płyty. Teraz odcinamy z dwóch sąsiednich boków pasy o szerokości 30 cm. Zatem odcinamy pas z jednego boku (jak poprzednio) i pas z drugiego boku. Należy uważać na kwadrat, który jest odcinany podwójnie – w rogu płyty.

Pierwszy pas ma wymiary 30 cm x 'a'. Jego pole to 30a.

Drugi pas ma wymiary 30 cm x (a - 30 cm), ponieważ od pełnej długości boku 'a' odjęliśmy już 30 cm (szerokość pierwszego odciętego pasa). Jego pole to 30(a - 30).

Całkowite pole odcięte to suma pól obu pasów: 30a + 30(a - 30).

Uprośćmy to wyrażenie: 30a + 30a - 900 = 60a - 900.

Załóżmy, że całkowite pole odcięte jest równe 3000 cm². Wtedy: 60a - 900 = 3000.

Dodajmy 900 do obu stron: 60a = 3900.

Podzielmy obie strony przez 60: a = 3900 / 60.

Zatem a = 65 cm.

W takim przypadku bok kwadratowej płyty gipsowej miał długość 65 cm. Sprawdźmy:

Pole pierwszego pasa: 30 cm * 65 cm = 1950 cm².

Pole drugiego pasa: 30 cm * (65 cm - 30 cm) = 30 cm * 35 cm = 1050 cm².

Suma pól: 1950 cm² + 1050 cm² = 3000 cm². Zgadza się.

Pole oryginalnego kwadratu: 65 cm * 65 cm = 4225 cm².

Pole pozostałej figury: 4225 cm² - 3000 cm² = 1225 cm². Figura ta jest kwadratem o boku 35 cm.

Trójkąt i Płyta Gipsowa

A teraz, co się stanie, jeśli przetniemy kwadratową płytę gipsową po przekątnej? Powstaną dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Pole każdego z nich to (a * a) / 2, czyli połowa pola kwadratu. Załóżmy, że chcemy połączyć te dwa trójkąty, tworząc inne figury. Możemy złączyć je bokami o długości 'a', tworząc nowy kwadrat (mniejszy, obrócony o 45 stopni). Możemy też złączyć je bokami o długości (a√2), czyli przeciwprostokątnymi, tworząc równoległobok (w rzeczywistości romb).

Jeśli od kwadratowej płyty gipsowej o boku 'a' odetniemy trójkąt, przecinając ją wzdłuż linii prostej, która nie jest równoległa do żadnego z boków, ani nie jest przekątną, powstanie trapez i trójkąt. Pole każdego z tych fragmentów będzie zależało od położenia linii cięcia. Aby obliczyć te pola, musimy znać współrzędne punktów, w których linia cięcia przecina boki kwadratu.

Rozważmy bardziej konkretny przypadek. Mamy kwadratową płytę gipsową o boku 100 cm. Odcinamy trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna leży na jednym z boków kwadratu i ma długość 40 cm. Druga przyprostokątna leży na sąsiednim boku kwadratu i ma długość 50 cm.

Pole tego trójkąta wynosi (40 cm * 50 cm) / 2 = 1000 cm².

Pole pozostałej figury (pięciokąta) wynosi pole kwadratu minus pole trójkąta.

Pole kwadratu: 100 cm * 100 cm = 10000 cm².

Pole pięciokąta: 10000 cm² - 1000 cm² = 9000 cm².

W przypadku gdy odetniemy pas, a następnie przetniemy powstałą figurę wzdłuż przekątnej, analizę należy przeprowadzić krok po kroku. Najpierw obliczamy wymiary prostokąta po odcięciu pasa. Następnie, znając te wymiary, obliczamy pole każdego z trójkątów powstałych po przecięciu prostokąta wzdłuż przekątnej.

Załóżmy, że wracamy do pierwotnej sytuacji. Mamy kwadrat o boku 60 cm. Odetniemy pas o szerokości 30 cm. Powstaje prostokąt o wymiarach 60 cm x 30 cm. Przetniemy ten prostokąt wzdłuż przekątnej. Powstaną dwa trójkąty prostokątne o wymiarach 60 cm x 30 cm. Pole każdego z nich wynosi (60 cm * 30 cm) / 2 = 900 cm². Suma pól tych trójkątów wynosi 1800 cm², co jest równe polu odciętego pasa.