Wzór Na Wysokość Trójkata Równoramienny

Hej! Zastanawiałeś się kiedyś, jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego? Może wydaje się to skomplikowane, ale obiecuję, że po przeczytaniu tego artykułu zrozumiesz to doskonale. Rozbijemy wszystko na małe, zrozumiałe części, posługując się prostym językiem i przykładami z życia wziętymi. Nie musisz mieć żadnej specjalnej wiedzy matematycznej na start!

Czym jest trójkąt równoramienny?

Zanim przejdziemy do wzoru, przypomnijmy sobie, co to w ogóle jest trójkąt równoramienny. Trójkąt równoramienny to taki trójkąt, który ma dwa boki równej długości. Te równe boki nazywamy ramionami, a trzeci bok (który zazwyczaj ma inną długość) nazywamy podstawą. Kąty przy podstawie również są równe.

Wyobraź sobie kawałek pizzy. Jeśli przetniesz okrągłą pizzę na cztery równe kawałki, a weźmiesz dwa sąsiadujące kawałki, to ich połączenie utworzy trójkąt równoramienny. Dwa boki, które powstały z promieni pizzy, są ramionami, a brzeg pizzy, który połączyłeś, to podstawa. Albo, pomyśl o dachu domu – często ma on kształt trójkąta równoramiennego.

Co to jest wysokość w trójkącie?

Wysokość trójkąta to odcinek prostej poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia). W trójkącie równoramiennym możemy poprowadzić trzy wysokości, ale najbardziej interesuje nas wysokość opuszczona na podstawę. Dlaczego? Bo ma ona specjalne właściwości.

Pomyśl o drzewie. Jeśli chcesz zmierzyć jego wysokość, stoisz na ziemi (podstawa) i wyobrażasz sobie linię prostą, która łączy Twoje stopy z czubkiem drzewa (wysokość). Ta linia jest prostopadła do ziemi. Podobnie jest z wysokością w trójkącie.

Wzór na wysokość trójkąta równoramiennego

Teraz przejdźmy do sedna – jak obliczyć wysokość (h) trójkąta równoramiennego? Oznaczmy:

• a – długość ramienia trójkąta
• b – długość podstawy trójkąta

Wzór na wysokość h opuszczoną na podstawę b wygląda następująco:

h = √(a² - (b² / 4))

Czyli wysokość równa się pierwiastkowi kwadratowemu z różnicy kwadratu długości ramienia i kwadratu połowy długości podstawy.

Skąd się wziął ten wzór? Twierdzenie Pitagorasa!

Może zastanawiasz się, skąd wzięliśmy ten dziwny wzór? Otóż, opiera się on na Twierdzeniu Pitagorasa, jednym z fundamentów geometrii. Twierdzenie to mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych (boków leżących przy kącie prostym) jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (najdłuższego boku). Czyli: a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna.

Wyobraź sobie, że w trójkącie równoramiennym narysowaliśmy wysokość opuszczoną na podstawę. Ta wysokość podzieliła nam trójkąt równoramienny na dwa identyczne trójkąty prostokątne. W każdym z tych trójkątów:

• Przeciwprostokątną jest ramię trójkąta równoramiennego (a).
• Jedną z przyprostokątnych jest połowa podstawy trójkąta równoramiennego (b/2).
• Drugą przyprostokątną jest właśnie nasza szukana wysokość (h).

Zatem, zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:

(b/2)² + h² = a²

Przekształcając ten wzór, żeby wyznaczyć h, otrzymujemy:

h² = a² - (b/2)²

A następnie, pierwiastkując obie strony, dostajemy nasz wzór:

h = √(a² - (b² / 4))

Przykłady zastosowania wzoru

Żeby to wszystko lepiej zrozumieć, rozwiążmy kilka przykładów:

Przykład 1: Mamy trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 cm i podstawie długości 6 cm. Oblicz jego wysokość.

1. a = 5 cm
2. b = 6 cm
3. h = √(5² - (6² / 4)) = √(25 - (36 / 4)) = √(25 - 9) = √16 = 4 cm

Wysokość tego trójkąta wynosi 4 cm.

Przykład 2: Dach domu ma kształt trójkąta równoramiennego. Jego ramiona mają długość 4 metry, a podstawa 6 metrów. Ile wynosi wysokość dachu?

1. a = 4 m
2. b = 6 m
3. h = √(4² - (6² / 4)) = √(16 - (36 / 4)) = √(16 - 9) = √7 ≈ 2.65 m

Wysokość dachu wynosi około 2.65 metra.

Przykład 3: Trójkąt równoramienny ma ramiona długości 10 i podstawę długości 12. Znajdź jego wysokość.

1. a = 10
2. b = 12
3. h = √(10² - (12² / 4)) = √(100 - (144 / 4)) = √(100 - 36) = √64 = 8

Wysokość tego trójkąta wynosi 8.

Podsumowanie

Mamy nadzieję, że teraz rozumiesz, jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego! Pamiętaj o:

• Definicji trójkąta równoramiennego (dwa równe boki).
• Definicji wysokości w trójkącie (odcinek prostopadły do podstawy).
• Wzorze: h = √(a² - (b² / 4))
• Twierdzeniu Pitagorasa, które jest podstawą tego wzoru.

Ćwicz regularnie, rozwiązuj zadania, a zobaczysz, że obliczanie wysokości trójkąta równoramiennego stanie się dla Ciebie banalnie proste! Powodzenia!