Wzór Na Sumę Początkowych Wyrazów Ciągu Arytmetycznego

Dzień dobry wszystkim! Dzisiaj zajmiemy się bardzo przydatnym narzędziem w matematyce, a mianowicie wzorem na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Ten wzór pozwoli nam szybko i sprawnie obliczyć sumę wielu kolejnych liczb, które tworzą ciąg, bez potrzeby dodawania ich wszystkich po kolei. Gotowi? Zaczynamy!

Załóżmy, że mamy ciąg arytmetyczny, czyli taki, w którym każda kolejna liczba powstaje przez dodanie do poprzedniej stałej wartości, zwanej różnicą ciągu (oznaczanej najczęściej jako "r"). Na przykład: 2, 5, 8, 11, 14... To jest ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3.

Teraz wyobraźmy sobie, że chcemy obliczyć sumę kilku początkowych wyrazów takiego ciągu. Moglibyśmy po prostu je dodać, ale co, jeśli chcemy obliczyć sumę np. 100 pierwszych wyrazów? Dodawanie ręczne byłoby bardzo żmudne i czasochłonne. Tutaj z pomocą przychodzi nam właśnie wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Wzór na Sumę Początkowych Wyrazów Ciągu Arytmetycznego

Wzór ten wygląda następująco:

Sn = (a1 + an) * n / 2

Gdzie:

• Sn – suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
• a1 – pierwszy wyraz ciągu
• an – n-ty wyraz ciągu
• n – liczba wyrazów, które sumujemy

Proste, prawda? Przyjrzyjmy się teraz, jak użyć tego wzoru w praktyce.

Przykłady Użycia Wzoru

Weźmy nasz wcześniejszy ciąg: 2, 5, 8, 11, 14... Załóżmy, że chcemy obliczyć sumę pierwszych 5 wyrazów tego ciągu.

1. Określamy wartości:

   • a1 = 2 (pierwszy wyraz)
   • n = 5 (liczba wyrazów, które sumujemy)
   • an = a5 = 14 (piąty wyraz)

2. Podstawiamy te wartości do wzoru:

   S5 = (2 + 14) * 5 / 2

3. Wykonujemy obliczenia:

   S5 = 16 * 5 / 2 S5 = 80 / 2 S5 = 40

Zatem suma pierwszych 5 wyrazów ciągu 2, 5, 8, 11, 14 wynosi 40. Sprawdźmy, dodając te liczby ręcznie: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40. Zgadza się!

Inny przykład

Załóżmy, że mamy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1 = 3 i różnicy r = 4. Chcemy obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów tego ciągu.

1. Określamy wartości:

   • a1 = 3
   • n = 10

2. Potrzebujemy znaleźć a10 (dziesiąty wyraz). Możemy to zrobić, używając wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

   an = a1 + (n - 1) * r

   a10 = 3 + (10 - 1) * 4 a10 = 3 + 9 * 4 a10 = 3 + 36 a10 = 39

3. Teraz możemy podstawić wszystko do wzoru na sumę:

   S10 = (3 + 39) * 10 / 2 S10 = 42 * 10 / 2 S10 = 420 / 2 S10 = 210

Zatem suma pierwszych 10 wyrazów tego ciągu wynosi 210.

Kiedy nie znamy ostatniego wyrazu ciągu

Często zdarza się, że nie znamy n-tego wyrazu ciągu (an), ale znamy pierwszy wyraz (a1), liczbę wyrazów (n) i różnicę (r). W takiej sytuacji możemy połączyć dwa wzory: wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (an = a1 + (n - 1) * r) i wzór na sumę n początkowych wyrazów.

Podstawiając wzór na an do wzoru na Sn, otrzymujemy:

Sn = (a1 + a1 + (n - 1) * r) * n / 2

Upraszczając to, otrzymujemy:

Sn = (2 * a1 + (n - 1) * r) * n / 2

Ten wzór jest bardzo przydatny, gdy nie znamy bezpośrednio wartości ostatniego wyrazu ciągu.

Przykład

Mamy ciąg arytmetyczny, gdzie a1 = 1, r = 2 i chcemy obliczyć sumę pierwszych 20 wyrazów.

1. Określamy wartości:

   • a1 = 1
   • r = 2
   • n = 20

2. Używamy wzoru:

   S20 = (2 * 1 + (20 - 1) * 2) * 20 / 2 S20 = (2 + 19 * 2) * 20 / 2 S20 = (2 + 38) * 20 / 2 S20 = 40 * 20 / 2 S20 = 800 / 2 S20 = 400

Zatem suma pierwszych 20 wyrazów tego ciągu wynosi 400.

Podsumowanie

Wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to potężne narzędzie, które pozwala nam szybko i sprawnie obliczyć sumę wielu kolejnych liczb w ciągu. Pamiętajmy o dwóch wersjach wzoru:

• Sn = (a1 + an) * n / 2 (gdy znamy pierwszy i ostatni wyraz ciągu)
• Sn = (2 * a1 + (n - 1) * r) * n / 2 (gdy znamy pierwszy wyraz, różnicę i liczbę wyrazów)

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie było dla Was zrozumiałe i pomocne. Zachęcam do ćwiczeń i rozwiązywania różnych zadań, aby utrwalić zdobytą wiedzę. Powodzenia!