Wzór Na Przekątną Sześciokąta Foremnego
Hej Studenci! Gotowi na powtórkę z geometrii? Dziś zajmiemy się **sześciokątem foremnym** i wyprowadzimy wzór na jego przekątną. Nie martwcie się, to wcale nie jest tak trudne, jak się wydaje! Zaczynamy?
Czym jest sześciokąt foremny?
Zacznijmy od podstaw. **Sześciokąt foremny** to wielokąt o sześciu równych bokach i sześciu równych kątach wewnętrznych. Każdy kąt wewnętrzny w sześciokącie foremnym ma miarę 120 stopni. To bardzo ważne! Pomyśl o plastrze miodu – to idealny przykład sześciokąta foremnego.
Wyobraź sobie taki sześciokąt. Możemy w nim narysować różne przekątne. Ale o jakich przekątnych mówimy konkretnie? Istnieją dwa rodzaje przekątnych w sześciokącie foremnym:
- Krótsze przekątne: Łączą wierzchołki oddalone o jeden wierzchołek (np. co drugi wierzchołek).
- Dłuższe przekątne: Łączą przeciwległe wierzchołki, przechodzą przez środek sześciokąta.
Wzór na dłuższą przekątną sześciokąta foremnego
Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest wyjątkowo łatwa do policzenia. Dlaczego? Ponieważ dzieli sześciokąt na dwie równe części, przechodząc przez jego środek. Ta przekątna jest równa dwukrotnej długości boku sześciokąta.
Jeśli długość boku sześciokąta foremnego oznaczamy jako a, to długość dłuższej przekątnej (oznaczmy ją jako d) wynosi:
d = 2a
Proste, prawda? To dlatego, że dłuższa przekątna przechodzi przez środek sześciokąta i jest równa dwóm promieniom okręgu opisanego na sześciokącie (które to promienie są równe długości boku).
Wzór na krótszą przekątną sześciokąta foremnego
Krótsza przekątna jest nieco bardziej interesująca. Aby wyprowadzić wzór na jej długość, musimy skorzystać z trochę geometrii i trygonometrii. Ale spokojnie, krok po kroku wszystko wyjaśnię!
Wyobraź sobie, że narysowałeś krótszą przekątną w swoim sześciokącie foremnym. Zauważ, że dzieli ona sześciokąt na trapez równoramienny i trójkąt. Skupmy się na tym trapezie.
Możemy podzielić trapez równoramienny na prostokąt i dwa trójkąty prostokątne. Kąt ostry w tych trójkątach prostokątnych wynosi 30 stopni (ponieważ kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma 120 stopni, a trapez jest równoramienny). Zauważ, że wysokość tego trójkąta prostokątnego to a/2, gdzie a to długość boku sześciokąta.
Długość podstawy tego trójkąta (która jest połową krótszej przekątnej pomniejszoną o długość boku) możemy obliczyć korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens:
tan(30°) = (a/2) / x
Gdzie x to długość tej podstawy. Wiemy, że tan(30°) = 1/√3. Zatem:
1/√3 = (a/2) / x
Przekształcając to równanie, otrzymujemy:
x = (a√3) / 2
A ponieważ krótsza przekątna składa się z odcinka o długości a i dwóch odcinków o długości x, to:
krótsza przekątna = a + 2x = a + 2 * (a√3) / 2 = a + a√3 = a(√3 + 1)
Jednak, istnieje prostszy sposób! Możemy po prostu skorzystać z faktu, że krótsza przekątna tworzy z dwoma bokami sześciokąta trójkąt równoramienny, w którym kąt między ramionami (boki sześciokąta) wynosi 120 stopni. W takim trójkącie możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
Oznaczmy długość krótszej przekątnej jako p.
p2 = a2 + a2 - 2 * a * a * cos(120°)
Wiemy, że cos(120°) = -1/2. Zatem:
p2 = a2 + a2 - 2 * a2 * (-1/2) = a2 + a2 + a2 = 3a2
Wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron, otrzymujemy:
p = a√3
Uff! Dotarliśmy do celu. Wzór na krótszą przekątną sześciokąta foremnego o boku a to:
p = a√3
Podsumowanie
Gratulacje! Przeszliśmy przez wyprowadzenie wzorów na przekątne sześciokąta foremnego. Pamiętaj, że:
- Sześciokąt foremny ma sześć równych boków i sześć równych kątów.
- Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego (d) jest równa dwukrotnej długości boku (a): d = 2a
- Krótsza przekątna sześciokąta foremnego (p) jest równa długości boku (a) pomnożonej przez pierwiastek z trzech: p = a√3
Pamiętajcie, ćwiczenie czyni mistrza! Rozwiążcie kilka zadań z wykorzystaniem tych wzorów, a na pewno zapamiętacie je na długo. Powodzenia na egzaminie! Pamiętajcie, geometria może być fajna!
