Wyznaczanie Wzoru Funkcji Kwadratowej Na Podstawie Jej Własności

Wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności to zadanie, które często pojawia się w zadaniach maturalnych i sprawia uczniom niemałe trudności. Istnieje kilka metod pozwalających na rozwiązanie tego problemu, a wybór konkretnej zależy od danych, którymi dysponujemy. Przyjrzyjmy się najpopularniejszym strategiom i przykładom ich zastosowania.

Pierwszym krokiem jest zawsze uświadomienie sobie, że funkcja kwadratowa może być przedstawiona w trzech podstawowych postaciach:

• Postać ogólna: f(x) = ax² + bx + c
• Postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie (p, q) to współrzędne wierzchołka paraboli
• Postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁) (x - x₂), gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji

Wiedząc to, możemy dopasować odpowiednią postać do danych w zadaniu.

Wykorzystanie wierzchołka i punktu:

Jeśli znamy współrzędne wierzchołka paraboli, czyli punktu (p, q), oraz współrzędne dowolnego innego punktu należącego do wykresu funkcji (x₀, y₀), możemy skorzystać z postaci kanonicznej. Wstawiamy wartości p i q do wzoru f(x) = a(x - p)² + q. Otrzymujemy wtedy wzór: f(x) = a(x - p)² + q. Następnie, współrzędne punktu (x₀, y₀) wstawiamy do tego wzoru zamiast x i f(x) (czyli y). Otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą 'a', które rozwiązujemy. Kiedy obliczymy 'a', wstawiamy tę wartość oraz wartości p i q do postaci kanonicznej. Otrzymujemy w ten sposób pełny wzór funkcji kwadratowej.

Przykład:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne W(2, -1), a do paraboli należy punkt A(0, 3).

Zaczynamy od postaci kanonicznej: f(x) = a(x - p)² + q

Wstawiamy współrzędne wierzchołka: f(x) = a(x - 2)² - 1

Teraz wstawiamy współrzędne punktu A(0, 3): 3 = a(0 - 2)² - 1

Upraszczamy: 3 = 4a - 1

Rozwiązujemy równanie: 4a = 4 => a = 1

Wstawiamy a = 1 do postaci kanonicznej: f(x) = 1(x - 2)² - 1

Otrzymujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej: f(x) = (x - 2)² - 1

Możemy również przekształcić ten wzór do postaci ogólnej: f(x) = x² - 4x + 4 - 1 = x² - 4x + 3

Wykorzystanie miejsc zerowych i punktu:

Jeśli znamy miejsca zerowe funkcji, czyli punkty x₁ i x₂, w których wykres funkcji przecina oś OX, oraz współrzędne innego punktu należącego do wykresu funkcji (x₀, y₀), możemy skorzystać z postaci iloczynowej. Wstawiamy wartości x₁ i x₂ do wzoru f(x) = a(x - x₁) (x - x₂). Otrzymujemy wtedy wzór f(x) = a(x - x₁) (x - x₂). Następnie, współrzędne punktu (x₀, y₀) wstawiamy do tego wzoru zamiast x i f(x) (czyli y). Otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą 'a', które rozwiązujemy. Kiedy obliczymy 'a', wstawiamy tę wartość oraz wartości x₁ i x₂ do postaci iloczynowej. Otrzymujemy w ten sposób pełny wzór funkcji kwadratowej.

Przykład:

Miejsca zerowe funkcji to x₁ = -1 i x₂ = 3, a do wykresu funkcji należy punkt B(1, 4).

Zaczynamy od postaci iloczynowej: f(x) = a(x - x₁) (x - x₂)

Wstawiamy miejsca zerowe: f(x) = a(x + 1)(x - 3)

Teraz wstawiamy współrzędne punktu B(1, 4): 4 = a(1 + 1)(1 - 3)

Upraszczamy: 4 = a(2)(-2)

Rozwiązujemy równanie: 4 = -4a => a = -1

Wstawiamy a = -1 do postaci iloczynowej: f(x) = -1(x + 1)(x - 3)

Otrzymujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej: f(x) = -(x + 1)(x - 3)

Możemy również przekształcić ten wzór do postaci ogólnej: f(x) = -(x² - 3x + x - 3) = -(x² - 2x - 3) = -x² + 2x + 3

Wykorzystanie trzech punktów:

Jeśli znamy współrzędne trzech punktów należących do wykresu funkcji, np. (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), możemy skorzystać z postaci ogólnej funkcji kwadratowej: f(x) = ax² + bx + c. Wstawiając współrzędne każdego z tych punktów do wzoru, otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi: a, b i c. Rozwiązujemy ten układ równań. Istnieje wiele metod rozwiązywania układów równań, np. metoda podstawiania, metoda przeciwnych współczynników lub metoda Cramera. Po rozwiązaniu układu otrzymujemy wartości a, b i c, które wstawiamy do postaci ogólnej funkcji kwadratowej.

Przykład:

Do wykresu funkcji należą punkty: A(1, 6), B(-1, 2), C(2, 11).

Zaczynamy od postaci ogólnej: f(x) = ax² + bx + c

Wstawiamy współrzędne punktów:

• A(1, 6): 6 = a(1)² + b(1) + c => a + b + c = 6
• B(-1, 2): 2 = a(-1)² + b(-1) + c => a - b + c = 2
• C(2, 11): 11 = a(2)² + b(2) + c => 4a + 2b + c = 11

Otrzymujemy układ równań:

{ a + b + c = 6 { a - b + c = 2 { 4a + 2b + c = 11

Rozwiązujemy układ równań (metoda podstawiania):

Z równania 1. wyznaczamy c: c = 6 - a - b Wstawiamy do równania 2.: a - b + 6 - a - b = 2 => -2b = -4 => b = 2 Wstawiamy b = 2 do równania 1.: a + 2 + c = 6 => c = 4 - a Wstawiamy b = 2 i c = 4 - a do równania 3.: 4a + 2(2) + 4 - a = 11 => 3a + 8 = 11 => 3a = 3 => a = 1

Teraz wyznaczamy c: c = 4 - a = 4 - 1 = 3

Mamy: a = 1, b = 2, c = 3

Wstawiamy do postaci ogólnej: f(x) = 1x² + 2x + 3

Otrzymujemy wzór funkcji w postaci ogólnej: f(x) = x² + 2x + 3

Dodatkowe wskazówki:

• Zwróć uwagę na kierunek ramion paraboli. Jeśli a > 0, ramiona skierowane są do góry, a jeśli a < 0, ramiona skierowane są do dołu.
• Jeśli w zadaniu pojawia się informacja o osi symetrii paraboli, pamiętaj, że oś symetrii przechodzi przez wierzchołek paraboli, a jej równanie to x = p.
• Pamiętaj o sprawdzeniu, czy otrzymany wzór funkcji spełnia warunki zadania. Wstaw punkty podane w zadaniu do wzoru i upewnij się, że równości są prawdziwe.
• Ćwicz rozwiązywanie różnych typów zadań, aby nabrać wprawy w doborze odpowiedniej metody i sprawnym wykonywaniu obliczeń.

Zapamiętanie tych metod i ich konsekwentne stosowanie pozwoli Ci bez problemu wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej na podstawie jej własności. Kluczem do sukcesu jest zrozumienie, jakie informacje są najbardziej przydatne w każdej z postaci funkcji kwadratowej i umiejętność przekształcania między tymi postaciami.