Wyznacz Wzór Funkcji Liniowej Przechodzącej Przez Punkty

Dobrze, postaram się to wytłumaczyć najprościej jak potrafię. Oto artykuł o tym, jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty:

Mamy dwa punkty. Nazwijmy je A i B. Punkt A ma współrzędne (x₁, y₁), a punkt B ma współrzędne (x₂, y₂). Potrzebujemy znaleźć wzór funkcji liniowej, która przechodzi przez te dwa punkty. Funkcja liniowa ma wzór y = ax + b, gdzie 'a' to współczynnik kierunkowy, a 'b' to wyraz wolny. Musimy obliczyć 'a' i 'b'.

Najpierw obliczamy 'a'. Robimy to według wzoru:

a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Widzimy, że odejmujemy od siebie współrzędne 'y' punktów B i A, a następnie dzielimy to przez różnicę współrzędnych 'x' tych samych punktów. Ważne jest, żeby odejmować w tej samej kolejności! Jeśli odejmujemy y₂ od y₁, to musimy również odjąć x₂ od x₁.

Po obliczeniu 'a', przechodzimy do obliczenia 'b'. Wybieramy jeden z punktów, na przykład punkt A (x₁, y₁). Podstawiamy współrzędne tego punktu oraz obliczone wcześniej 'a' do wzoru funkcji liniowej:

y₁ = a * x₁ + b

Teraz mamy równanie z jedną niewiadomą – 'b'. Przekształcamy to równanie, żeby wyliczyć 'b':

b = y₁ - a * x₁

W ten sposób obliczyliśmy 'b'.

Mając obliczone 'a' i 'b', możemy zapisać wzór funkcji liniowej, która przechodzi przez punkty A i B:

y = ax + b

Gdzie 'a' to obliczony współczynnik kierunkowy, a 'b' to obliczony wyraz wolny.

Przykład

Załóżmy, że mamy punkty A(1, 2) i B(3, 6).

Obliczamy 'a':

a = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2

Obliczamy 'b' (wybieramy punkt A):

2 = 2 * 1 + b b = 2 - 2 = 0

Zapisujemy wzór funkcji:

y = 2x + 0 y = 2x

Sprawdzamy, czy punkty A i B leżą na tej prostej:

Dla punktu A(1, 2): y = 2 * 1 = 2 (zgadza się) Dla punktu B(3, 6): y = 2 * 3 = 6 (zgadza się)

Wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 6) to y = 2x.

Dodatkowe Uwagi

Kiedy x₁ = x₂: Jeśli współrzędne 'x' obu punktów są takie same, to nie możemy obliczyć 'a' (dzielenie przez zero). W takim przypadku mamy do czynienia z funkcją liniową pionową, która ma wzór x = x₁. Na przykład, jeśli mamy punkty (2, 3) i (2, 5), to funkcja liniowa przechodząca przez te punkty to x = 2.
Kiedy y₁ = y₂: Jeśli współrzędne 'y' obu punktów są takie same, to 'a' wynosi 0. W takim przypadku mamy do czynienia z funkcją liniową poziomą, która ma wzór y = y₁. Na przykład, jeśli mamy punkty (1, 4) i (5, 4), to funkcja liniowa przechodząca przez te punkty to y = 4.

Inny Przykład (bardziej skomplikowany)

Załóżmy, że mamy punkty A(-2, 1) i B(4, -2).

Obliczamy 'a':

a = (-2 - 1) / (4 - (-2)) = -3 / 6 = -1/2

Obliczamy 'b' (wybieramy punkt A):

1 = (-1/2) * (-2) + b 1 = 1 + b b = 1 - 1 = 0

Zapisujemy wzór funkcji:

y = (-1/2)x + 0 y = (-1/2)x

Sprawdzamy, czy punkty A i B leżą na tej prostej:

Dla punktu A(-2, 1): y = (-1/2) * (-2) = 1 (zgadza się) Dla punktu B(4, -2): y = (-1/2) * (4) = -2 (zgadza się)

Wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty A(-2, 1) i B(4, -2) to y = (-1/2)x.

Jeszcze jeden przykład

Mamy punkty A(0, 5) i B(2, 1).

Obliczamy 'a': a = (1 - 5) / (2 - 0) = -4 / 2 = -2
Obliczamy 'b' (wybieramy punkt A): 5 = -2 * 0 + b b = 5
Zapisujemy wzór funkcji: y = -2x + 5

Sprawdzamy:

A(0, 5): y = -2 * 0 + 5 = 5 (ok) B(2, 1): y = -2 * 2 + 5 = -4 + 5 = 1 (ok)

Wzór funkcji to y = -2x + 5.

Pamiętaj, że to tylko kilka przykładów. Ważne jest, aby zrozumieć, jak obliczyć 'a' i 'b', a następnie podstawić je do wzoru funkcji liniowej. Upewnij się, że sprawdzasz, czy twoje rozwiązanie jest poprawne, podstawiając współrzędne punktów do obliczonego wzoru funkcji. Jeżeli uzyskasz prawidłowe wartości 'y' dla danych 'x', to oznacza, że funkcja została wyznaczona prawidłowo. Jeżeli natomiast wynik się nie zgadza, sprawdź obliczenia jeszcze raz - najczęściej błędy pojawiają się przy odejmowaniu liczb ujemnych albo przy dzieleniu. Ćwicz na różnych przykładach, a z czasem stanie się to dla Ciebie bardzo proste.