Wyznacz Wzór Funkcji Liniowej F Która Spełnia Warunki

Wyznaczenie wzoru funkcji liniowej, która spełnia zadane warunki, to jedno z podstawowych zadań w matematyce, z którym spotykamy się na różnych etapach edukacji. Funkcja liniowa, jak sama nazwa wskazuje, opisuje linię prostą na wykresie. Jej ogólna postać to f(x) = ax + b, gdzie 'a' to współczynnik kierunkowy, a 'b' to wyraz wolny. Naszym zadaniem jest znalezienie wartości tych dwóch współczynników na podstawie podanych informacji.

Zadanie takie może przyjmować różne formy. Najczęściej spotykane przypadki to:

1. Dana jest wartość funkcji w dwóch punktach (np. f(x1) = y1 i f(x2) = y2).
2. Dany jest współczynnik kierunkowy 'a' oraz punkt, przez który przechodzi prosta (np. a = k i f(x1) = y1).
3. Dany jest punkt przecięcia z osią OY (czyli wartość 'b') oraz punkt, przez który przechodzi prosta (np. b = l i f(x1) = y1).
4. Dana jest prosta równoległa lub prostopadła do szukanej oraz punkt, przez który przechodzi szukana prosta.
5. Dana jest dziedzina i zbiór wartości funkcji.

Przyjrzyjmy się każdemu z tych przypadków bliżej.

Dwa Punkty

Załóżmy, że mamy dane dwa punkty: A(x1, y1) i B(x2, y2). Oznacza to, że znamy wartości funkcji w tych punktach, czyli f(x1) = y1 i f(x2) = y2. Podstawiamy te wartości do wzoru ogólnego funkcji liniowej:

y1 = a*x1 + b y2 = a*x2 + b

Otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (a i b). Rozwiązujemy ten układ. Możemy użyć metody podstawiania lub metody przeciwnych współczynników. Po rozwiązaniu uzyskujemy wartości 'a' i 'b', które wstawiamy do wzoru f(x) = ax + b.

Współczynnik Kierunkowy i Punkt

Jeżeli znamy współczynnik kierunkowy 'a' i punkt A(x1, y1) należący do prostej, zadanie staje się prostsze. Znamy już 'a', więc potrzebujemy znaleźć tylko 'b'. Podstawiamy współrzędne punktu A oraz wartość 'a' do wzoru ogólnego funkcji liniowej:

y1 = a*x1 + b

Przekształcamy to równanie, aby wyznaczyć 'b':

b = y1 - a*x1

Mając 'a' i 'b', możemy zapisać wzór funkcji liniowej.

Punkt Przecięcia z Osią OY i Punkt

W tym przypadku znamy wartość 'b', ponieważ punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0, b). Znamy również punkt A(x1, y1) należący do prostej. Podstawiamy te wartości do wzoru ogólnego funkcji liniowej:

y1 = a*x1 + b

Przekształcamy to równanie, aby wyznaczyć 'a':

a = (y1 - b) / x1

Mając 'a' i 'b', zapisujemy wzór funkcji liniowej.

Prosta Równoległa lub Prostopadła i Punkt

Jeżeli mamy daną prostą o równaniu y = kx + l, to prosta równoległa do niej ma taki sam współczynnik kierunkowy, czyli a = k. Jeżeli prosta jest prostopadła, to jej współczynnik kierunkowy jest odwrotny i przeciwny, czyli a = -1/k. Mając 'a' oraz punkt A(x1, y1), przez który przechodzi nasza szukana prosta, postępujemy tak, jak w przypadku "Współczynnik Kierunkowy i Punkt".

Dziedzina i Zbiór Wartości

Ten przypadek jest nieco bardziej złożony. Jeżeli mamy daną dziedzinę i zbiór wartości funkcji liniowej, musimy przeanalizować, jak funkcja liniowa zmienia się na danym przedziale. Załóżmy, że dziedzina to przedział [x1, x2], a zbiór wartości to przedział [y1, y2].

• Przypadek 1: Funkcja rosnąca - Jeśli funkcja jest rosnąca, to dla x1 mamy y1, a dla x2 mamy y2. Czyli A(x1, y1) i B(x2, y2). Dalej postępujemy jak w przypadku "Dwa Punkty".
• Przypadek 2: Funkcja malejąca - Jeśli funkcja jest malejąca, to dla x1 mamy y2, a dla x2 mamy y1. Czyli A(x1, y2) i B(x2, y1). Dalej postępujemy jak w przypadku "Dwa Punkty".

Musimy więc sprawdzić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca. Możemy to zrobić, analizując wartości na krańcach przedziałów dziedziny i zbioru wartości.

Przykłady

Przykład 1: Wyznacz wzór funkcji liniowej, która przechodzi przez punkty A(1, 3) i B(2, 5).

Podstawiamy współrzędne punktów do wzoru ogólnego:

3 = a*1 + b 5 = a*2 + b

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

2 = a

Wstawiamy a = 2 do pierwszego równania:

3 = 2*1 + b b = 1

Zatem wzór funkcji liniowej to f(x) = 2x + 1.

Przykład 2: Wyznacz wzór funkcji liniowej, której współczynnik kierunkowy wynosi -1, a prosta przechodzi przez punkt A(3, 2).

Znamy a = -1. Podstawiamy do wzoru:

2 = -1*3 + b 2 = -3 + b b = 5

Zatem wzór funkcji liniowej to f(x) = -x + 5.

Przykład 3: Wyznacz wzór funkcji liniowej, która przecina oś OY w punkcie (0, -2) i przechodzi przez punkt A(4, 6).

Znamy b = -2. Podstawiamy do wzoru:

6 = a*4 - 2 8 = 4a a = 2

Zatem wzór funkcji liniowej to f(x) = 2x - 2.

Przykład 4: Wyznacz wzór funkcji liniowej równoległej do prostej y = 3x - 1 i przechodzącej przez punkt A(2, 1).

Prosta równoległa ma taki sam współczynnik kierunkowy, więc a = 3. Podstawiamy do wzoru:

1 = 3*2 + b 1 = 6 + b b = -5

Zatem wzór funkcji liniowej to f(x) = 3x - 5.

Przykład 5: Wyznacz wzór funkcji liniowej prostopadłej do prostej y = (1/2)x + 4 i przechodzącej przez punkt A(1, 5).

Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy a = -2 (odwrotny i przeciwny do 1/2). Podstawiamy do wzoru:

5 = -2*1 + b 5 = -2 + b b = 7

Zatem wzór funkcji liniowej to f(x) = -2x + 7.

Przykład 6: Wyznacz wzór funkcji liniowej, której dziedzina to [0, 2], a zbiór wartości to [1, 5].

Sprawdzamy, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca. Ponieważ dla x = 0 mamy y = 1, a dla x = 2 mamy y = 5, funkcja jest rosnąca. Mamy punkty A(0, 1) i B(2, 5). Postępujemy jak w przypadku "Dwa Punkty":

1 = a*0 + b 5 = a*2 + b

Z pierwszego równania od razu mamy b = 1. Podstawiamy do drugiego równania:

5 = 2a + 1 4 = 2a a = 2

Zatem wzór funkcji liniowej to f(x) = 2x + 1.

Rozwiązywanie Zadań Tekstowych

Często zadania na wyznaczenie wzoru funkcji liniowej pojawiają się w formie zadań tekstowych. Kluczem do sukcesu jest tutaj uważne przeczytanie treści i wyodrębnienie istotnych informacji, które można zapisać w postaci matematycznej.

Przykładowo: "Koszt produkcji jednego przedmiotu wynosi 5 zł, a koszt stały to 100 zł. Napisz wzór funkcji opisującej koszt produkcji 'x' przedmiotów."

W tym przypadku, koszt zmienny (zależny od ilości przedmiotów) to 5x, a koszt stały to 100. Zatem wzór funkcji kosztu to:

K(x) = 5x + 100

Inny przykład: "Temperatura w pewnym pomieszczeniu rośnie liniowo. O godzinie 8:00 temperatura wynosiła 18 stopni Celsjusza, a o godzinie 10:00 - 22 stopnie Celsjusza. Napisz wzór funkcji opisującej temperaturę w zależności od czasu (gdzie x to liczba godzin od 8:00)."

Mamy dwa punkty: (0, 18) (godzina 8:00) i (2, 22) (godzina 10:00). Zatem:

18 = a*0 + b 22 = a*2 + b

Z pierwszego równania mamy b = 18. Podstawiamy do drugiego:

22 = 2a + 18 4 = 2a a = 2

Zatem wzór funkcji to T(x) = 2x + 18.

Ważne Wskazówki

• Zawsze zaczynaj od zapisania ogólnego wzoru funkcji liniowej: f(x) = ax + b.
• Uważnie czytaj treść zadania i wyodrębnij kluczowe informacje.
• Zapisuj informacje w postaci punktów (x, y) lub równań.
• Rozwiązuj układy równań, aby znaleźć wartości 'a' i 'b'.
• Sprawdzaj, czy otrzymany wzór funkcji spełnia warunki zadania.

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej to umiejętność, która wymaga praktyki. Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz różne przypadki i będziesz w stanie szybciej i skuteczniej rozwiązywać problemy.