Wyznacz Wzór Funkcji Której Wykresem Jest Prosta Równoległa Do Prostej

Dobrze, postaram się udzielić wyczerpującej odpowiedzi na pytanie dotyczące wyznaczania wzoru funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do danej prostej.

Zacznijmy od podstaw. Funkcja liniowa w postaci kierunkowej wyrażona jest wzorem:

y = ax + b

gdzie:

• a to współczynnik kierunkowy, który decyduje o nachyleniu prostej względem osi OX.
• b to wyraz wolny, który określa punkt przecięcia prostej z osią OY (czyli rzędna punktu, w którym prosta przecina oś Y).

Dwie proste są równoległe, jeśli mają taki sam współczynnik kierunkowy (a). Zatem, jeśli mamy daną prostą o równaniu y = a₁x + b₁, a chcemy znaleźć równanie prostej równoległej do niej, to nowa prosta będzie miała postać y = a₁x + b₂, gdzie b₂ może być dowolną liczbą różną od b₁ (inaczej proste by się pokrywały, a nie były tylko równoległe).

Krok po kroku: Wyznaczanie wzoru funkcji

Załóżmy, że mamy daną prostą o równaniu:

y = 3x + 2

Chcemy znaleźć równanie prostej równoległej do niej, która przechodzi przez punkt P(1, 5).

1. Identyfikacja współczynnika kierunkowego:

   Współczynnik kierunkowy danej prostej to a₁ = 3. Ponieważ szukamy prostej równoległej, jej współczynnik kierunkowy również będzie równy 3. Zatem nasza nowa prosta będzie miała postać:

   y = 3x + b₂

2. Wyznaczenie wyrazu wolnego (b₂):

   Wiemy, że prosta ma przechodzić przez punkt P(1, 5). To oznacza, że współrzędne tego punktu spełniają równanie prostej. Możemy więc podstawić x = 1 i y = 5 do równania y = 3x + b₂ i rozwiązać je ze względu na b₂:

   5 = 3 * 1 + b₂ 5 = 3 + b₂ b₂ = 5 - 3 b₂ = 2

   Jednak, zatrzymajmy się na chwilę. Coś jest nie tak. b₂ wyszło nam 2, identycznie jak b₁ w oryginalnym równaniu. To oznacza, że otrzymaliśmy dokładnie to samo równanie! Musimy więc założyć, że prosta ma być równoległa I RÓŻNA od oryginalnej. Zatem, warunek przechodzenia przez punkt P(1,5) MUSI BYĆ INNY, jeśli chcemy otrzymać prostą równoległą i różną.

   Alternatywny krok 2: Wyznaczenie wyrazu wolnego (b₂) - poprawione podejście

   Załóżmy, że prosta ma być równoległa do y = 3x + 2, ale NIE przechodzić przez punkt leżący na tej prostej. Na przykład, niech przechodzi przez punkt Q(0, 1). Teraz, podstawiając x = 0 i y = 1 do równania y = 3x + b₂:

   1 = 3 * 0 + b₂ 1 = 0 + b₂ b₂ = 1

3. Zapisanie równania prostej:

   Mając współczynnik kierunkowy a = 3 i wyraz wolny b₂ = 1, możemy zapisać równanie prostej równoległej:

   y = 3x + 1

To jest równanie prostej równoległej do y = 3x + 2 i przechodzącej przez punkt Q(0, 1).

Bardziej Złożone Scenariusze

Co jeśli dana prosta jest w postaci ogólnej?

Ax + By + C = 0

Aby wyznaczyć prostą równoległą, musimy najpierw przekształcić ją do postaci kierunkowej, czyli wyznaczyć y z tego równania:

By = -Ax - C y = (-A/B)x - (C/B)

Teraz widzimy, że współczynnik kierunkowy to -A/B. Prosta równoległa będzie miała więc postać:

y = (-A/B)x + b₂

gdzie b₂ wyznaczamy, tak jak poprzednio, podstawiając współrzędne punktu, przez który ma przechodzić nowa prosta.

Przykład:

Mamy daną prostą w postaci ogólnej:

2x + 4y - 8 = 0

Przekształcamy do postaci kierunkowej:

4y = -2x + 8 y = (-2/4)x + (8/4) y = (-1/2)x + 2

Chcemy znaleźć równanie prostej równoległej, która przechodzi przez punkt R(4, -1). Współczynnik kierunkowy to -1/2. Zatem nasza nowa prosta ma postać:

y = (-1/2)x + b₂

Podstawiamy współrzędne punktu R:

-1 = (-1/2) * 4 + b₂ -1 = -2 + b₂ b₂ = -1 + 2 b₂ = 1

Równanie prostej równoległej to:

y = (-1/2)x + 1

Albo w postaci ogólnej (mnożąc obie strony przez 2):

2y = -x + 2 x + 2y - 2 = 0

Kiedy Dana Prosta Nie Jest Funkcją (Prosta Pionowa)

Istnieje jeszcze jeden przypadek, który warto rozważyć. Co, jeśli dana prosta jest pionowa? Prosta pionowa ma równanie postaci:

x = c

gdzie c to stała. Prosta pionowa nie jest funkcją, ponieważ dla jednej wartości x mamy nieskończenie wiele wartości y.

Prosta równoległa do prostej pionowej również będzie prostą pionową. Zatem, jeśli chcemy znaleźć równanie prostej równoległej do x = c, która przechodzi przez punkt S(d, e), to równanie tej prostej będzie:

x = d

Ponieważ wszystkie punkty na tej prostej mają współrzędną x równą d, niezależnie od wartości y.

Podsumowanie

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do danej prostej, sprowadza się do:

1. Znalezienia współczynnika kierunkowego danej prostej. Jeśli prosta jest w postaci ogólnej, należy przekształcić ją do postaci kierunkowej.
2. Użycia tego samego współczynnika kierunkowego dla prostej równoległej.
3. Wyznaczenia wyrazu wolnego (b₂), podstawiając współrzędne punktu, przez który ma przechodzić nowa prosta, do równania y = ax + b₂.
4. Specjalnego przypadku prostych pionowych, gdzie prosta równoległa ma równanie x = d, gdzie d jest współrzędną x punktu, przez który ma przechodzić.
5. Upewnienia się, że nowe równanie jest RÓŻNE od pierwotnego. To znaczy, współrzędne punktu przez który ma przechodzić nowa prosta, nie mogą spełniać równania pierwotnej prostej.

Mam nadzieję, że to wyczerpujące wyjaśnienie pomoże w zrozumieniu tego tematu.