Wyznacz Wszystkie Wartości Parametru M Dla Których Równanie

Rozważmy równanie:

(m - 2)x² + 4mx + 5m - 6 = 0

Naszym celem jest znalezienie wszystkich wartości parametru m, dla których to równanie spełnia określone warunki, które zostaną sprecyzowane w dalszej części analizy. Na początek musimy rozważyć dwa główne przypadki: przypadek, gdy równanie jest liniowe (m = 2) oraz przypadek, gdy jest kwadratowe (m ≠ 2).

Przypadek 1: m = 2

Jeżeli m = 2, to równanie przyjmuje postać:

(2 - 2)x² + 4(2)x + 5(2) - 6 = 0 0x² + 8x + 10 - 6 = 0 8x + 4 = 0 8x = -4 x = -1/2

W tym przypadku, mamy jedno rozwiązanie, x = -1/2. Jest to równanie liniowe i zawsze posiada jedno rozwiązanie.

Przypadek 2: m ≠ 2

Jeżeli m ≠ 2, to mamy do czynienia z równaniem kwadratowym. W tej sytuacji, liczba rozwiązań zależy od wartości dyskryminanty Δ. Dyskryminanta obliczana jest ze wzoru:

Δ = b² - 4ac

Gdzie a = (m - 2), b = 4m, i c = (5m - 6).

Zatem, dyskryminanta dla naszego równania wynosi:

Δ = (4m)² - 4(m - 2)(5m - 6) Δ = 16m² - 4(5m² - 6m - 10m + 12) Δ = 16m² - 4(5m² - 16m + 12) Δ = 16m² - 20m² + 64m - 48 Δ = -4m² + 64m - 48

Teraz rozważymy różne warunki dotyczące liczby rozwiązań równania kwadratowego.

Równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste:

W tym przypadku, Δ > 0. Zatem:

-4m² + 64m - 48 > 0 Dzielimy obie strony nierówności przez -4 (pamiętając o zmianie znaku nierówności): m² - 16m + 12 < 0

Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego m² - 16m + 12 = 0:

Δm = (-16)² - 4(1)(12) = 256 - 48 = 208 √Δm = √(208) = √(16 * 13) = 4√13

m1 = (16 - 4√13) / 2 = 8 - 2√13 m2 = (16 + 4√13) / 2 = 8 + 2√13

Zatem, m ∈ (8 - 2√13, 8 + 2√13). Ponieważ założyliśmy wcześniej, że m ≠ 2, musimy sprawdzić, czy 2 należy do tego przedziału. Przybliżona wartość √13 to 3.6, zatem 2√13 to około 7.2. Stąd, 8 - 2√13 to około 0.8, a 8 + 2√13 to około 15.2. W związku z tym, 2 należy do tego przedziału i musimy go wykluczyć.

m ∈ (8 - 2√13, 2) ∪ (2, 8 + 2√13)

Równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójne):

W tym przypadku, Δ = 0. Zatem:

-4m² + 64m - 48 = 0 m² - 16m + 12 = 0

Jak wyliczyliśmy wcześniej, pierwiastki tego równania to:

m1 = 8 - 2√13 m2 = 8 + 2√13

Zatem, m = 8 - 2√13 lub m = 8 + 2√13.

Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych:

W tym przypadku, Δ < 0. Zatem:

-4m² + 64m - 48 < 0 m² - 16m + 12 > 0

Oznacza to, że m ∈ (-∞, 8 - 2√13) ∪ (8 + 2√13, +∞).

Równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste:

Oznacza to, że Δ ≥ 0. Zatem:

-4m² + 64m - 48 ≥ 0 m² - 16m + 12 ≤ 0

Czyli m ∈ [8 - 2√13, 8 + 2√13].

Dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste niezależnie od czy m jest równe 2, czy nie.

Dla m=2, rozwiązanie x = -1/2. Dla m≠2 mamy Δ=0, m1=8-2√13 oraz m2=8+2√13. Zatem m=2, m=8-2√13 oraz m=8+2√13.

Dodatkowe Warunki i Analiza

Możemy również rozważyć dodatkowe warunki dotyczące rozwiązań, takie jak:

Oba rozwiązania są dodatnie.
Oba rozwiązania są ujemne.
Jeden pierwiastek jest dodatni, a drugi ujemny.
Suma kwadratów pierwiastków ma daną wartość.

Analiza tych warunków wymaga skorzystania z wzorów Viète'a. Dla równania kwadratowego ax² + bx + c = 0, wzory Viète'a mają postać:

x1 + x2 = -b/a x1 * x2 = c/a

W naszym przypadku:

x1 + x2 = -4m / (m - 2) x1 * x2 = (5m - 6) / (m - 2)

Załóżmy, że chcemy, aby oba rozwiązania były dodatnie. Wtedy muszą być spełnione następujące warunki:

Δ > 0 (dwa różne rozwiązania rzeczywiste)
x1 + x2 > 0
x1 * x2 > 0

Z warunku 1 mamy m ∈ (8 - 2√13, 2) ∪ (2, 8 + 2√13).

Z warunku 2 mamy:

-4m / (m - 2) > 0 4m / (m - 2) < 0 m / (m - 2) < 0

Aby ten ułamek był mniejszy od zera, m i (m - 2) muszą mieć różne znaki. To zachodzi, gdy 0 < m < 2.

Z warunku 3 mamy:

(5m - 6) / (m - 2) > 0

Aby ten ułamek był większy od zera, (5m - 6) i (m - 2) muszą mieć takie same znaki. To zachodzi, gdy m < 6/5 lub m > 2.

Łącząc te trzy warunki:

m ∈ (8 - 2√13, 2) ∪ (2, 8 + 2√13) 0 < m < 2 m < 6/5 lub m > 2

Zatem, m ∈ (8 - 2√13, 6/5).

Podsumowanie

Wyznaczyliśmy warunki dla parametru m dla różnych przypadków:

m = 2: Równanie liniowe, jedno rozwiązanie x = -1/2.
m ≠ 2: Równanie kwadratowe.
- Δ > 0: Dwa różne rozwiązania rzeczywiste, m ∈ (8 - 2√13, 2) ∪ (2, 8 + 2√13).
- Δ = 0: Jedno rozwiązanie (podwójne), m = 8 - 2√13 lub m = 8 + 2√13.
- Δ < 0: Brak rozwiązań rzeczywistych, m ∈ (-∞, 8 - 2√13) ∪ (8 + 2√13, +∞).

Dodatkowo, rozważyliśmy przykład dodatkowego warunku (oba rozwiązania dodatnie) i pokazaliśmy, jak wykorzystać wzory Viète'a do jego analizy. Można podobnie analizować inne warunki dotyczące rozwiązań równania kwadratowego. Istotne jest pamiętanie o wykluczeniu m=2, gdy rozważamy przypadki kwadratowe i o połączeniu wszystkich warunków, aby uzyskać ostateczny przedział dla parametru m.