Wyznacz Wszystkie Wartości Parametru M Dla Których Liczba 1

Zadanie to polega na znalezieniu wszystkich wartości parametru m, dla których liczba 1 spełnia pewien warunek. Zazwyczaj ten warunek dotyczy bycia pierwiastkiem jakiegoś równania (czyli rozwiązaniem), miejscem zerowym funkcji, lub spełniania określonej nierówności. Przejdźmy więc do omówienia, jak rozwiązywać tego typu zadania na konkretnych przykładach.

Przykład 1: Liczba 1 jako pierwiastek równania

Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe zależne od parametru m:

x² + (m - 2)x + m + 1 = 0

Chcemy znaleźć wszystkie wartości m, dla których liczba 1 jest pierwiastkiem tego równania. Oznacza to, że po podstawieniu x = 1 do równania, równanie musi być spełnione.

Podstawiamy x = 1:

1² + (m - 2) * 1 + m + 1 = 0

Upraszczamy:

1 + m - 2 + m + 1 = 0

2m = 0

m = 0

Zatem, jedyną wartością parametru m, dla której liczba 1 jest pierwiastkiem tego równania, jest m = 0.

Przykład 2: Liczba 1 jako miejsce zerowe funkcji

Załóżmy, że mamy funkcję liniową zależną od parametru m:

f(x) = (2m - 1)x + m + 3

Chcemy znaleźć wszystkie wartości m, dla których liczba 1 jest miejscem zerowym tej funkcji. Oznacza to, że f(1) = 0.

Podstawiamy x = 1:

f(1) = (2m - 1) * 1 + m + 3 = 0

Upraszczamy:

2m - 1 + m + 3 = 0

3m + 2 = 0

3m = -2

m = -2/3

Zatem, jedyną wartością parametru m, dla której liczba 1 jest miejscem zerowym tej funkcji, jest m = -2/3.

Przykład 3: Liczba 1 spełniająca nierówność

Załóżmy, że mamy nierówność:

(m + 1)x > 2m - 3

Chcemy znaleźć wszystkie wartości m, dla których liczba 1 spełnia tę nierówność. Oznacza to, że po podstawieniu x = 1 nierówność musi być prawdziwa.

Podstawiamy x = 1:

(m + 1) * 1 > 2m - 3

Upraszczamy:

m + 1 > 2m - 3

Przenosimy m na jedną stronę i liczby na drugą:

1 + 3 > 2m - m

4 > m

m < 4

Zatem, wszystkie wartości parametru m mniejsze od 4 spełniają tę nierówność dla x = 1. Rozwiązaniem jest przedział m ∈ (-∞, 4).

Przykład 4: Liczba 1 jako argument funkcji, dla którego spełniony jest warunek

Załóżmy, że mamy funkcję:

f(x) = mx² - (m+2)x + 3

Chcemy znaleźć takie m, aby f(1) = 2.

Podstawiamy x = 1:

f(1) = m * 1² - (m+2) * 1 + 3 = 2

Upraszczamy:

m - m - 2 + 3 = 2

1 = 2

W tym przypadku otrzymaliśmy sprzeczność (1=2). Oznacza to, że nie istnieje takie m, dla którego f(1) = 2. Niezależnie od wartości m, po podstawieniu x=1 zawsze otrzymamy f(1)=1.

Ważne aspekty do rozważenia

Należy zwrócić uwagę na kilka aspektów, które mogą pojawić się w bardziej skomplikowanych zadaniach:

Dziedzina funkcji: Jeśli funkcja, w której występuje parametr m, ma ograniczoną dziedzinę (np. ułamek z m w mianowniku, pierwiastek kwadratowy z wyrażenia zawierającego m), należy sprawdzić, czy otrzymane wartości m należą do dziedziny. Innymi słowy, musimy upewnić się, że nasze rozwiązanie nie powoduje niedozwolonej operacji matematycznej, takiej jak dzielenie przez zero lub pierwiastkowanie liczby ujemnej.
Warunki dodatkowe: Zadanie może zawierać dodatkowe warunki dotyczące parametru m, np. że m musi być liczbą całkowitą, dodatnią, ujemną, parzystą, nieparzystą, należeć do określonego przedziału, itp. Należy pamiętać o uwzględnieniu tych warunków przy wyborze ostatecznego rozwiązania.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną: Jeśli w równaniu lub nierówności występuje wartość bezwzględna, należy rozważyć różne przypadki, w zależności od znaku wyrażenia wewnątrz wartości bezwzględnej.
Funkcje trygonometryczne: Jeśli funkcja zawiera funkcje trygonometryczne, należy pamiętać o ich okresowości i specyficznych własnościach (np. sinus i cosinus przyjmują wartości z przedziału [-1, 1]).
Równania wyższych stopni: W przypadku równań wyższych stopni (np. trzeciego, czwartego) znalezienie pierwiastków może być trudniejsze. Czasami można zastosować metody grupowania, wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, wzory skróconego mnożenia lub twierdzenie Bézouta, aby uprościć równanie. Często jednak zadania tego typu są tak skonstruowane, że po podstawieniu x = 1 równanie upraszcza się do równania liniowego lub kwadratowego.

Podsumowanie

Rozwiązywanie zadań polegających na znalezieniu wartości parametru m, dla których liczba 1 spełnia określony warunek, polega na:

Podstawieniu liczby 1 w miejsce zmiennej x do danego równania, nierówności lub wyrażenia.
Uproszczeniu otrzymanego wyrażenia.
Rozwiązaniu otrzymanego równania lub nierówności ze względu na parametr m.
Sprawdzeniu, czy otrzymane wartości m spełniają dodatkowe warunki zadania (np. należą do dziedziny funkcji, są liczbami całkowitymi, spełniają dodatkowe nierówności).

Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest dokładne wykonywanie obliczeń i uważne czytanie treści zadania, aby nie pominąć żadnych istotnych informacji. Im więcej rozwiązujesz zadań tego typu, tym łatwiej będzie Ci rozpoznawać różne typy problemów i stosować odpowiednie metody rozwiązywania. Powodzenia!