Wyznacz Wszystkie Wartości M Dla Których Funkcja Liniowa

Wyznaczanie wartości parametru 'm', dla których funkcja liniowa spełnia określone warunki, to częste zadanie w matematyce szkolnej i na studiach. Funkcja liniowa, jak sama nazwa wskazuje, charakteryzuje się prostoliniowym wykresem i można ją przedstawić w postaci ogólnej: f(x) = ax + b, gdzie 'a' to współczynnik kierunkowy, a 'b' to wyraz wolny. W naszym przypadku, współczynnik kierunkowy często będzie zawierał parametr 'm', a naszym zadaniem będzie jego znalezienie.

Rozważmy funkcję liniową f(x) = (m² - 4)x + 3. Chcemy znaleźć wszystkie wartości parametru 'm', dla których funkcja ta jest:

• Rosnąca
• Malejąca
• Stała
• Przechodzi przez konkretny punkt
• Równoległa do innej prostej
• Prostopadła do innej prostej

Zacznijmy od analizy warunku, kiedy funkcja liniowa jest rosnąca. Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest większy od zera. W naszym przypadku oznacza to rozwiązanie nierówności:

m² - 4 > 0

Aby rozwiązać tę nierówność, możemy skorzystać z kilku metod. Najprościej jest rozłożyć lewą stronę na czynniki, wykorzystując wzór na różnicę kwadratów:

(m - 2)(m + 2) > 0

Teraz analizujemy znak iloczynu (m - 2)(m + 2). Iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie lub gdy obie liczby są ujemne.

Przypadek 1: (m - 2) > 0 i (m + 2) > 0 Stąd m > 2 i m > -2. Ostatecznie m > 2.

Przypadek 2: (m - 2) < 0 i (m + 2) < 0 Stąd m < 2 i m < -2. Ostatecznie m < -2.

Zatem funkcja f(x) = (m² - 4)x + 3 jest rosnąca dla m ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞).

Następnie rozpatrzmy przypadek, gdy funkcja liniowa jest malejąca. Funkcja liniowa jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera. W naszym przypadku oznacza to rozwiązanie nierówności:

m² - 4 < 0

Postępujemy analogicznie jak poprzednio:

(m - 2)(m + 2) < 0

Iloczyn dwóch liczb jest ujemny, gdy jedna z liczb jest dodatnia, a druga ujemna.

Przypadek 1: (m - 2) > 0 i (m + 2) < 0 Stąd m > 2 i m < -2. Sprzeczność. Nie ma rozwiązania.

Przypadek 2: (m - 2) < 0 i (m + 2) > 0 Stąd m < 2 i m > -2. Ostatecznie -2 < m < 2.

Zatem funkcja f(x) = (m² - 4)x + 3 jest malejąca dla m ∈ (-2, 2).

Przejdźmy teraz do przypadku, gdy funkcja liniowa jest stała. Funkcja liniowa jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy zero. W naszym przypadku oznacza to rozwiązanie równania:

m² - 4 = 0

(m - 2)(m + 2) = 0

Stąd m = 2 lub m = -2.

Zatem funkcja f(x) = (m² - 4)x + 3 jest stała dla m = 2 i m = -2. Warto zauważyć, że w takim przypadku, dla m=2 i m=-2 funkcja redukuje się do f(x) = 3, czyli jest to linia pozioma.

Kolejnym przykładem może być sytuacja, w której chcemy, aby nasza funkcja liniowa przechodziła przez konkretny punkt, na przykład (1, 5). Oznacza to, że dla x = 1 wartość funkcji musi być równa 5. Podstawiamy te wartości do równania funkcji:

5 = (m² - 4)(1) + 3

5 = m² - 4 + 3

5 = m² - 1

m² = 6

m = √6 lub m = -√6

Zatem funkcja f(x) = (m² - 4)x + 3 przechodzi przez punkt (1, 5) dla m = √6 i m = -√6.

Równoległość i prostopadłość prostych

Rozważmy sytuację, w której chcemy, aby nasza funkcja liniowa f(x) = (m² - 4)x + 3 była równoległa do innej prostej, na przykład g(x) = 5x - 2. Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Zatem musimy rozwiązać równanie:

m² - 4 = 5

m² = 9

m = 3 lub m = -3

Zatem funkcja f(x) = (m² - 4)x + 3 jest równoległa do prostej g(x) = 5x - 2 dla m = 3 i m = -3.

Na koniec rozpatrzmy przypadek, gdy chcemy, aby nasza funkcja liniowa była prostopadła do innej prostej, na przykład h(x) = -1/5 x + 1. Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1. Zatem:

(m² - 4) * (-1/5) = -1

m² - 4 = 5

m² = 9

m = 3 lub m = -3

Zatem funkcja f(x) = (m² - 4)x + 3 jest prostopadła do prostej h(x) = -1/5 x + 1 dla m = 3 i m = -3.

Analiza różnych warunków, jakie może spełniać funkcja liniowa w zależności od parametru 'm', pokazuje, jak istotne jest zrozumienie zależności między współczynnikiem kierunkowym a zachowaniem funkcji. Rozwiązywanie nierówności i równań z parametrem pozwala nam precyzyjnie określić, dla jakich wartości 'm' funkcja spełnia określone kryteria.