Wyznacz Wszystkie Możliwe Wartości K Dla Których Zbiór

Niech naszym zadaniem będzie wyznaczenie wszystkich możliwych wartości parametru $k$, dla których zbiór $A = {x \in \mathbb{R}: kx^2 + (k+3)x + k > 0}$ jest równy zbiorowi liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. Oznacza to, że nierówność $kx^2 + (k+3)x + k > 0$ musi być spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Rozważmy dwa przypadki.

Przypadek 1: $k = 0$. Wówczas nierówność przyjmuje postać: $0x^2 + (0+3)x + 0 > 0$, co sprowadza się do $3x > 0$, czyli $x > 0$. Zatem zbiór rozwiązań to $(0, \infty)$, który nie jest równy $\mathbb{R}$. Stąd $k=0$ nie spełnia warunków zadania.

Przypadek 2: $k \neq 0$. Aby nierówność kwadratowa $kx^2 + (k+3)x + k > 0$ była spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$, parabola reprezentowana przez funkcję kwadratową $f(x) = kx^2 + (k+3)x + k$ musi leżeć całkowicie nad osią OX. Oznacza to, że parabola musi być skierowana ramionami do góry (czyli $k > 0$) oraz nie może mieć miejsc zerowych (czyli wyróżnik $\Delta$ musi być mniejszy od zera).

Wyróżnik $\Delta$ wynosi: $\Delta = (k+3)^2 - 4 \cdot k \cdot k = k^2 + 6k + 9 - 4k^2 = -3k^2 + 6k + 9$. Aby nierówność była spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$, muszą być spełnione warunki:

1. $k > 0$
2. $\Delta < 0$

Rozwiążmy nierówność $\Delta < 0$: $-3k^2 + 6k + 9 < 0$ Podzielmy przez -3 (zmieniając znak nierówności): $k^2 - 2k - 3 > 0$ Znajdźmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego $k^2 - 2k - 3$: $k = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$ $k_1 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $k_2 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ Zatem nierówność $k^2 - 2k - 3 > 0$ jest spełniona dla $k \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Teraz musimy uwzględnić warunek $k > 0$. Część wspólna zbioru rozwiązań nierówności $k^2 - 2k - 3 > 0$ i warunku $k > 0$ to: $(-\infty, -1) \cup (3, \infty) \cap (0, \infty) = (3, \infty)$.

Ostatecznie, zbiór wszystkich możliwych wartości parametru $k$, dla których zbiór $A = {x \in \mathbb{R}: kx^2 + (k+3)x + k > 0}$ jest równy zbiorowi liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$, to $k \in (3, \infty)$.

Analiza Graficzna i Interpretacja

Możemy zwizualizować tę sytuację graficznie. Funkcja kwadratowa $f(x) = kx^2 + (k+3)x + k$ reprezentuje parabolę. Aby nierówność $f(x) > 0$ była spełniona dla każdego $x$, parabola musi znajdować się całkowicie powyżej osi x. Oznacza to, że współczynnik kierunkowy $k$ (przy $x^2$) musi być dodatni (parabola skierowana ramionami do góry), a wyróżnik $\Delta$ musi być ujemny (brak miejsc zerowych). Rozwiązanie nierówności $\Delta < 0$ daje nam przedział wartości $k$, dla których parabola nie przecina osi x. Nałożenie warunku $k>0$ ogranicza ten przedział do wartości, dla których parabola jest skierowana ramionami do góry i nie przecina osi x.

Równoważnie, możemy rozpatrywać zadanie jako znalezienie warunków, dla których równanie $kx^2 + (k+3)x + k = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Oznacza to, że parabola nie przecina osi OX, co zachodzi, gdy wyróżnik $\Delta$ jest ujemny. Jednakże, aby $kx^2 + (k+3)x + k > 0$ dla wszystkich $x$, konieczne jest również, aby $k > 0$. Gdyby $k < 0$, parabola byłaby skierowana ramionami w dół, i istniałyby obszary, w których $kx^2 + (k+3)x + k < 0$. Stąd oba warunki, $k > 0$ i $\Delta < 0$, muszą być spełnione jednocześnie.

Alternatywne Podejście

Innym podejściem jest rozważenie, co się dzieje, gdy $x$ dąży do $\pm \infty$. Jeśli $k>0$, to dla dużych wartości $|x|$ dominujący składnik $kx^2$ będzie dodatni, co sugeruje, że nierówność może być spełniona. Jeśli $k<0$, to dla dużych wartości $|x|$ dominujący składnik $kx^2$ będzie ujemny, więc nierówność nie może być spełniona dla wszystkich $x$. Dlatego $k$ musi być dodatnie.

Następnie, potrzebujemy zbadać, co się dzieje dla wartości $x$, które nie są bardzo duże. Wymaganie, aby $\Delta < 0$, zapewnia, że nie ma miejsc zerowych, a ponieważ $k > 0$, parabola jest zawsze powyżej osi x.

Podsumowując, wyznaczyliśmy wszystkie możliwe wartości $k$, dla których zbiór $A = {x \in \mathbb{R}: kx^2 + (k+3)x + k > 0}$ jest równy zbiorowi liczb rzeczywistych. Jest to przedział $(3, \infty)$. Sprawdziliśmy warunek $k>0$ oraz $\Delta < 0$ i znaleźliśmy ich część wspólną.