Wyznacz Wszystkie Liczby Całkowite Które Spełniają Nierówność

Rozważmy nierówność:

|x - 3| < 5

Szukamy wszystkich liczb całkowitych 'x' spełniających tę nierówność.

Z definicji wartości bezwzględnej wiemy, że:

|x - 3| < 5 jest równoważne:

-5 < x - 3 < 5

Dodajmy 3 do wszystkich stron nierówności:

-5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3

-2 < x < 8

Zatem, x musi być większe od -2 i mniejsze od 8. Szukamy liczb całkowitych w tym przedziale. Są to: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Sprawdźmy kilka z tych liczb:

• x = -1: |-1 - 3| = |-4| = 4 < 5 (spełnia)
• x = 0: |0 - 3| = |-3| = 3 < 5 (spełnia)
• x = 3: |3 - 3| = |0| = 0 < 5 (spełnia)
• x = 7: |7 - 3| = |4| = 4 < 5 (spełnia)
• x = 8: |8 - 3| = |5| = 5 (nie spełnia, bo ma być < 5)
• x = -2: |-2 - 3| = |-5| = 5 (nie spełnia, bo ma być < 5)

Zatem zbiór liczb całkowitych spełniających nierówność |x - 3| < 5 to: {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Rozpatrzmy teraz nierówność:

x² - 5x + 6 ≤ 0

Znajdźmy pierwiastki trójmianu kwadratowego x² - 5x + 6.

Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

√Δ = 1

x₁ = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2 x₂ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3

Zatem postać iloczynowa trójmianu to:

(x - 2)(x - 3) ≤ 0

Analizujemy znak wyrażenia (x - 2)(x - 3). Wyrażenie to jest mniejsze lub równe zero, gdy x znajduje się między pierwiastkami, czyli w przedziale [2, 3].

Szukamy liczb całkowitych w przedziale [2, 3]. Są to liczby 2 i 3.

Sprawdźmy:

• x = 2: 2² - 5 * 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ≤ 0 (spełnia)
• x = 3: 3² - 5 * 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ≤ 0 (spełnia)
• x = 1: 1² - 5 * 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 > 0 (nie spełnia)
• x = 4: 4² - 5 * 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 (nie spełnia)

Zatem zbiór liczb całkowitych spełniających nierówność x² - 5x + 6 ≤ 0 to: {2, 3}.

Rozważmy nierówność:

(x - 1) / (x + 2) > 0

Musimy rozważyć dwa przypadki:

1. x - 1 > 0 i x + 2 > 0
2. x - 1 < 0 i x + 2 < 0

Przypadek 1:

x - 1 > 0 => x > 1 x + 2 > 0 => x > -2

Aby oba warunki były spełnione, x musi być większe od 1. Zatem x > 1.

Przypadek 2:

x - 1 < 0 => x < 1 x + 2 < 0 => x < -2

Aby oba warunki były spełnione, x musi być mniejsze od -2. Zatem x < -2.

Zatem rozwiązaniem nierówności (x - 1) / (x + 2) > 0 jest x ∈ (-∞, -2) ∪ (1, +∞).

Szukamy liczb całkowitych spełniających tę nierówność. Są to wszystkie liczby całkowite mniejsze od -2 oraz wszystkie liczby całkowite większe od 1.

Zatem zbiór liczb całkowitych spełniających nierówność (x - 1) / (x + 2) > 0 to: {..., -5, -4, -3} ∪ {2, 3, 4, 5, ...}.

Bardziej Złożony Przykład

Rozważmy teraz nierówność:

|2x + 1| ≤ 7

Z definicji wartości bezwzględnej:

-7 ≤ 2x + 1 ≤ 7

Odejmijmy 1 od wszystkich stron nierówności:

-7 - 1 ≤ 2x + 1 - 1 ≤ 7 - 1

-8 ≤ 2x ≤ 6

Podzielmy wszystkie strony nierówności przez 2:

-4 ≤ x ≤ 3

Zatem, x musi być większe lub równe -4 i mniejsze lub równe 3. Szukamy liczb całkowitych w tym przedziale. Są to: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Sprawdźmy kilka z tych liczb:

• x = -4: |2*(-4) + 1| = |-8 + 1| = |-7| = 7 ≤ 7 (spełnia)
• x = -1: |2*(-1) + 1| = |-2 + 1| = |-1| = 1 ≤ 7 (spełnia)
• x = 0: |2*0 + 1| = |0 + 1| = |1| = 1 ≤ 7 (spełnia)
• x = 3: |2*3 + 1| = |6 + 1| = |7| = 7 ≤ 7 (spełnia)

Zatem zbiór liczb całkowitych spełniających nierówność |2x + 1| ≤ 7 to: {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Nierówność z Ułamkami

Rozważmy nierówność:

(2x - 3) / (x + 1) < 1

Przenieśmy 1 na lewą stronę:

(2x - 3) / (x + 1) - 1 < 0

Sprowadźmy do wspólnego mianownika:

(2x - 3 - (x + 1)) / (x + 1) < 0

(2x - 3 - x - 1) / (x + 1) < 0

(x - 4) / (x + 1) < 0

Musimy rozważyć dwa przypadki:

1. x - 4 > 0 i x + 1 < 0
2. x - 4 < 0 i x + 1 > 0

Przypadek 1:

x - 4 > 0 => x > 4 x + 1 < 0 => x < -1

Nie ma liczb spełniających jednocześnie x > 4 i x < -1.

Przypadek 2:

x - 4 < 0 => x < 4 x + 1 > 0 => x > -1

Zatem -1 < x < 4.

Szukamy liczb całkowitych w przedziale (-1, 4). Są to: 0, 1, 2, 3.

Sprawdźmy:

• x = 0: (2*0 - 3) / (0 + 1) = -3 / 1 = -3 < 1 (spełnia)
• x = 1: (2*1 - 3) / (1 + 1) = -1 / 2 < 1 (spełnia)
• x = 2: (2*2 - 3) / (2 + 1) = 1 / 3 < 1 (spełnia)
• x = 3: (2*3 - 3) / (3 + 1) = 3 / 4 < 1 (spełnia)
• x = -1: (2*(-1) - 3) / (-1 + 1) = -5 / 0 (niedozwolone dzielenie przez zero)
• x = 4: (2*4 - 3) / (4 + 1) = 5 / 5 = 1 (nie spełnia, bo ma być < 1)

Zatem zbiór liczb całkowitych spełniających nierówność (2x - 3) / (x + 1) < 1 to: {0, 1, 2, 3}.