Wyznacz Współrzędne środka I Promień Okręgu Opisanego Równaniem

Okrąg to jedna z podstawowych figur geometrycznych, a umiejętność odczytywania informacji o nim z jego równania jest kluczowa w wielu zagadnieniach matematycznych. Z równania okręgu możemy wyznaczyć zarówno współrzędne jego środka, jak i długość promienia. Przejdźmy zatem do konkretów.

Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r w układzie współrzędnych kartezjańskich ma postać:

(x - a)² + (y - b)² = r²

Widzimy, że równanie to opisuje zależność pomiędzy współrzędnymi dowolnego punktu (x, y) leżącego na okręgu, a współrzędnymi środka okręgu (a, b) i jego promieniem r. Kluczem do wyznaczenia a, b oraz r jest odpowiednie przekształcenie równania, które często podawane jest w postaci ogólnej.

Równanie ogólne okręgu ma postać:

x² + y² + Ax + By + C = 0

Aby przejść z postaci ogólnej do postaci kanonicznej (tej z nawiasami do kwadratu), stosujemy metodę dopełniania do pełnego kwadratu. Metoda ta pozwala nam "zwinąć" wyrażenia z x i y do postaci kwadratu różnicy (lub sumy).

Proces ten wygląda następująco:

Grupujemy wyrazy z x oraz wyrazy z y: (x² + Ax) + (y² + By) + C = 0
Dopełniamy do pełnego kwadratu dla x: Aby dopełnić wyrażenie x² + Ax do pełnego kwadratu, musimy dodać i odjąć (A/2)². Otrzymujemy: (x² + Ax + (A/2)²) - (A/2)²
Dopełniamy do pełnego kwadratu dla y: Analogicznie, dla y² + By dodajemy i odejmujemy (B/2)². Otrzymujemy: (y² + By + (B/2)²) - (B/2)²
Zapisujemy wyrażenia w postaci kwadratów: Teraz możemy zapisać wyrażenia w nawiasach jako kwadraty: (x + A/2)² - (A/2)² + (y + B/2)² - (B/2)² + C = 0
Przenosimy stałe na prawą stronę równania: Przenosimy wszystkie stałe na prawą stronę równania: (x + A/2)² + (y + B/2)² = (A/2)² + (B/2)² - C

Teraz mamy równanie w postaci kanonicznej. Możemy odczytać współrzędne środka okręgu oraz promień.

Środek okręgu S ma współrzędne:

S(-A/2, -B/2)

Promień okręgu r wynosi:

r = √((A/2)² + (B/2)² - C)

Należy pamiętać, że aby równanie opisywało okrąg, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe od zera. Jeśli (A/2)² + (B/2)² - C < 0, to równanie nie opisuje okręgu (mówimy, że jest to zbiór pusty). Jeśli (A/2)² + (B/2)² - C = 0, to równanie opisuje punkt.

Przykłady i Zastosowania

Rozważmy równanie:

x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

Stosujemy metodę dopełniania do pełnego kwadratu:

(x² - 4x) + (y² + 6y) - 3 = 0 (x² - 4x + 4) - 4 + (y² + 6y + 9) - 9 - 3 = 0 (x - 2)² + (y + 3)² = 4 + 9 + 3 (x - 2)² + (y + 3)² = 16

Zatem środek okręgu ma współrzędne S(2, -3), a promień wynosi r = √16 = 4.

Inny przykład:

x² + y² + 2x - 8y + 17 = 0

(x² + 2x) + (y² - 8y) + 17 = 0 (x² + 2x + 1) - 1 + (y² - 8y + 16) - 16 + 17 = 0 (x + 1)² + (y - 4)² = 1 + 16 - 17 (x + 1)² + (y - 4)² = 0

W tym przypadku, (A/2)² + (B/2)² - C = 0, więc równanie opisuje punkt o współrzędnych (-1, 4). Promień wynosi 0.

Ostatni przykład:

x² + y² + 6x + 4y + 15 = 0

(x² + 6x) + (y² + 4y) + 15 = 0 (x² + 6x + 9) - 9 + (y² + 4y + 4) - 4 + 15 = 0 (x + 3)² + (y + 2)² = 9 + 4 - 15 (x + 3)² + (y + 2)² = -2

Ponieważ (A/2)² + (B/2)² - C = -2 < 0, to równanie nie opisuje żadnego okręgu. Zbiór rozwiązań jest pusty.

Umiejętność wyznaczania współrzędnych środka i promienia okręgu z jego równania ma szerokie zastosowanie w geometrii analitycznej, fizyce (np. w opisie ruchu po okręgu) oraz w grafice komputerowej. Pozwala na precyzyjne określenie położenia i rozmiaru okręgu w przestrzeni, co jest kluczowe w wielu problemach praktycznych. Przykładowo, w grafice komputerowej, znajomość tych parametrów jest niezbędna do rysowania okręgów na ekranie, a w fizyce do analizy ruchu ciał po torach kołowych. Warto również zauważyć, że równania okręgów pojawiają się również w kontekście bardziej zaawansowanych zagadnień matematycznych, takich jak geometria różniczkowa czy analiza zespolona. Zatem solidne zrozumienie tego tematu jest fundamentalne dla dalszego rozwoju w naukach ścisłych.