Wyznacz Te Wartości Parametru M Dla Których Równanie Mx 2

Rozważmy równanie kwadratowe z parametrem m:

Mx² - (2m + 3)x + m + 2 = 0

Naszym celem jest znalezienie wartości parametru m, dla których równanie spełnia określone warunki. Zanim przejdziemy do konkretnych warunków, przeanalizujmy najpierw ogólną strukturę równania kwadratowego.

Równanie kwadratowe w postaci ogólnej zapisujemy jako ax² + bx + c = 0, gdzie a, b i c są współczynnikami, a x jest niewiadomą. W naszym przypadku:

• a = m
• b = -(2m + 3)
• c = m + 2

Aby równanie było kwadratowe, współczynnik a musi być różny od zera. Zatem, m ≠ 0. Jeśli m = 0, równanie redukuje się do równania liniowego: -3x + 2 = 0, co daje x = 2/3. Skupmy się jednak na przypadkach, gdy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.

Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych

Aby równanie kwadratowe miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jego wyróżnik (delta) musi być większy od zera. Wyróżnik Δ obliczamy ze wzoru:

Δ = b² - 4ac

W naszym przypadku:

Δ = (-(2m + 3))² - 4 * m * (m + 2)

Δ = (4m² + 12m + 9) - 4m² - 8m

Δ = 4m + 9

Aby istniały dwa różne pierwiastki rzeczywiste, musi zachodzić:

4m + 9 > 0

4m > -9

m > -9/4

Zatem, dla m > -9/4 i m ≠ 0, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Musimy wykluczyć m = 0, ponieważ wtedy równanie nie jest kwadratowe. Zatem rozwiązaniem jest przedział (-9/4, 0) ∪ (0, ∞).

Rozważmy teraz sytuację, w której chcemy, aby oba pierwiastki były dodatnie.

Do tego potrzebujemy dwóch warunków: delta dodatnia (co już mamy) oraz warunków wynikających ze wzorów Viete'a. Wzory Viete'a mówią, że dla równania kwadratowego ax² + bx + c = 0, suma pierwiastków (x₁ + x₂) wynosi -b/a, a iloczyn pierwiastków (x₁ * x₂) wynosi c/a.

W naszym przypadku:

• x₁ + x₂ = (2m + 3) / m
• x₁ * x₂ = (m + 2) / m

Aby oba pierwiastki były dodatnie, ich suma i iloczyn muszą być dodatnie.

Warunek 1: (2m + 3) / m > 0

Rozważmy dwa przypadki:

• 2m + 3 > 0 i m > 0 => m > -3/2 i m > 0 => m > 0
• 2m + 3 < 0 i m < 0 => m < -3/2 i m < 0 => m < -3/2

Zatem, (2m + 3) / m > 0 dla m ∈ (-∞, -3/2) ∪ (0, ∞)

Warunek 2: (m + 2) / m > 0

Ponownie, rozważmy dwa przypadki:

• m + 2 > 0 i m > 0 => m > -2 i m > 0 => m > 0
• m + 2 < 0 i m < 0 => m < -2 i m < 0 => m < -2

Zatem, (m + 2) / m > 0 dla m ∈ (-∞, -2) ∪ (0, ∞)

Aby spełnić wszystkie trzy warunki (delta dodatnia, suma dodatnia, iloczyn dodatni), musimy znaleźć część wspólną przedziałów:

• m > -9/4 (delta > 0)
• m ∈ (-∞, -3/2) ∪ (0, ∞) (suma > 0)
• m ∈ (-∞, -2) ∪ (0, ∞) (iloczyn > 0)

Część wspólna tych przedziałów to (0, ∞). Zatem, dla m > 0 równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, oba dodatnie.

Warunek, aby jeden pierwiastek był większy od 1, a drugi mniejszy od 1

Aby jeden pierwiastek był większy od 1, a drugi mniejszy od 1, funkcja f(x) = mx² - (2m+3)x + m+2 musi przyjmować różne znaki dla x=1. Oznacza to, że f(1) < 0.

Obliczmy f(1):

f(1) = m * 1² - (2m + 3) * 1 + m + 2

f(1) = m - 2m - 3 + m + 2

f(1) = -1

Ponieważ f(1) = -1 < 0, warunek ten jest zawsze spełniony, o ile istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Czyli potrzebujemy tylko, aby delta była większa od zera i m nie było równe 0. Zatem:

m > -9/4 i m ≠ 0

czyli m ∈ (-9/4, 0) ∪ (0, ∞)

Warunek, aby oba pierwiastki były mniejsze od 1

Musimy spełnić następujące warunki:

1. Δ > 0 (dwa różne pierwiastki rzeczywiste)
2. x₁ + x₂ < 2 (suma pierwiastków mniejsza od 2)
3. (x₁ - 1)(x₂ - 1) > 0 (oba pierwiastki mniejsze od 1)

Warunek 1: Δ > 0 => m > -9/4 i m ≠ 0, czyli m ∈ (-9/4, 0) ∪ (0, ∞)

Warunek 2: x₁ + x₂ < 2 => (2m + 3) / m < 2 => (2m + 3 - 2m) / m < 0 => 3 / m < 0 => m < 0

Warunek 3: (x₁ - 1)(x₂ - 1) > 0 => x₁x₂ - (x₁ + x₂) + 1 > 0 => (m + 2) / m - (2m + 3) / m + 1 > 0 => (m + 2 - 2m - 3 + m) / m > 0 => (-1) / m > 0 => m < 0

Musimy znaleźć część wspólną tych warunków:

• m ∈ (-9/4, 0) ∪ (0, ∞)
• m < 0
• m < 0

Część wspólna to m ∈ (-9/4, 0). Zatem, dla m ∈ (-9/4, 0) równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, oba mniejsze od 1.

Podsumowując, przeanalizowaliśmy różne warunki dotyczące pierwiastków równania kwadratowego z parametrem m. Znaleźliśmy wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, oba dodatnie, jeden pierwiastek większy od 1 a drugi mniejszy od 1, oraz oba pierwiastki mniejsze od 1. Każdy z tych warunków prowadził do innego zbioru rozwiązań dla m.