Wyznacz Rownanie Prostej Przechodzacej Przez Punkt P 3 1

Chcesz znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P(3, 1)? Świetnie! Istnieje kilka sposobów, aby to zrobić, w zależności od tego, jakie informacje dodatkowo posiadasz. Przejdźmy przez najpopularniejsze metody krok po kroku.

Pierwsza metoda opiera się na ogólnej postaci równania prostej i dodatkowym warunku. Ogólna postać równania prostej to Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C to współczynniki, a A i B nie mogą być jednocześnie równe zero. Aby znaleźć konkretne równanie, potrzebujemy jeszcze jednej informacji, na przykład współczynnika kierunkowego prostej (czyli nachylenia) lub innego punktu, przez który przechodzi prosta.

Załóżmy, że znamy współczynnik kierunkowy, oznaczmy go jako 'm'. Wtedy możemy skorzystać z postaci kierunkowej równania prostej, która jest wygodniejsza do tego celu: y = mx + b, gdzie 'b' to wyraz wolny, czyli punkt przecięcia prostej z osią Y.

Podstawiamy współrzędne punktu P(3, 1) do równania y = mx + b:

1 = m * 3 + b

Teraz mamy jedno równanie z dwiema niewiadomymi (m i b). Potrzebujemy jeszcze jednej informacji, aby rozwiązać ten układ. Załóżmy, że m = 2. Wtedy:

1 = 2 * 3 + b 1 = 6 + b b = 1 - 6 b = -5

Zatem równanie prostej o współczynniku kierunkowym m = 2, przechodzącej przez punkt P(3, 1), to: y = 2x - 5.

Możemy również zapisać to równanie w postaci ogólnej. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

2x - y - 5 = 0

W tym przypadku A = 2, B = -1, C = -5.

Jeśli zamiast współczynnika kierunkowego, znamy inny punkt, przez który przechodzi prosta, na przykład punkt Q(5, 7), możemy obliczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty P i Q. Wzór na współczynnik kierunkowy 'm' to:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

gdzie (x1, y1) to współrzędne punktu P, a (x2, y2) to współrzędne punktu Q.

Podstawiamy wartości:

m = (7 - 1) / (5 - 3) m = 6 / 2 m = 3

Teraz mamy współczynnik kierunkowy m = 3 i punkt P(3, 1). Ponownie korzystamy z postaci kierunkowej równania prostej: y = mx + b.

1 = 3 * 3 + b 1 = 9 + b b = 1 - 9 b = -8

Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkty P(3, 1) i Q(5, 7) to: y = 3x - 8.

W postaci ogólnej: 3x - y - 8 = 0.

Inna sytuacja może wystąpić, gdy znamy kąt, jaki prosta tworzy z osią OX. Współczynnik kierunkowy 'm' jest tangensem tego kąta: m = tan(α), gdzie α to kąt nachylenia prostej do osi OX.

Załóżmy, że kąt α wynosi 45 stopni. Wtedy:

m = tan(45°) m = 1

Mamy współczynnik kierunkowy m = 1 i punkt P(3, 1). Podstawiamy do równania y = mx + b:

1 = 1 * 3 + b 1 = 3 + b b = 1 - 3 b = -2

Równanie prostej to: y = x - 2.

W postaci ogólnej: x - y - 2 = 0.

Równanie Prostej w Postaci Odcinkowej

Istnieje również postać odcinkowa równania prostej. Jest ona szczególnie użyteczna, gdy znamy punkty przecięcia prostej z osiami OX i OY. Postać odcinkowa wygląda następująco:

x/a + y/b = 1

gdzie 'a' to punkt przecięcia z osią OX (czyli x, gdy y = 0), a 'b' to punkt przecięcia z osią OY (czyli y, gdy x = 0).

Aby znaleźć równanie prostej w postaci odcinkowej, potrzebujemy dodatkowych informacji, na przykład, że prosta przechodzi przez punkt (0, b) lub (a, 0). Załóżmy, że prosta przechodzi przez punkt P(3, 1) i przecina oś OY w punkcie (0, 4). Wtedy b = 4.

Mamy teraz częściowe równanie:

x/a + y/4 = 1

Podstawiamy współrzędne punktu P(3, 1) do równania:

3/a + 1/4 = 1 3/a = 1 - 1/4 3/a = 3/4 a = 4

Zatem równanie prostej w postaci odcinkowej to:

x/4 + y/4 = 1

Możemy pomnożyć obie strony równania przez 4, aby uprościć:

x + y = 4

A w postaci ogólnej: x + y - 4 = 0.

Wektory i Równanie Prostej

Możemy również wykorzystać wektory do zdefiniowania równania prostej. Załóżmy, że mamy wektor kierunkowy prostej, oznaczmy go jako v = [v1, v2]. Wtedy równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P(x0, y0) i o wektorze kierunkowym v = [v1, v2] wygląda następująco:

x = x0 + t * v1 y = y0 + t * v2

gdzie 't' to parametr rzeczywisty.

Załóżmy, że wektor kierunkowy prostej to v = [2, 3] i prosta przechodzi przez punkt P(3, 1). Wtedy równanie parametryczne prostej to:

x = 3 + t * 2 y = 1 + t * 3

Aby zamienić to na równanie ogólne, możemy wyeliminować parametr 't'. Z pierwszego równania wyliczamy 't':

t = (x - 3) / 2

Podstawiamy to do drugiego równania:

y = 1 + ((x - 3) / 2) * 3 y = 1 + (3x - 9) / 2 2y = 2 + 3x - 9 2y = 3x - 7

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

3x - 2y - 7 = 0

W ten sposób otrzymaliśmy równanie prostej w postaci ogólnej.

Podsumowując, istnieje wiele sposobów na znalezienie równania prostej przechodzącej przez punkt P(3, 1). Wybór metody zależy od dodatkowych informacji, jakie posiadasz – czy to współczynnik kierunkowy, inny punkt, kąt nachylenia, punkty przecięcia z osiami, czy wektor kierunkowy. Każda z tych informacji pozwala na jednoznaczne wyznaczenie równania prostej. Pamiętaj, aby zawsze sprawdzać, czy uzyskane równanie spełnia warunki zadania, czyli czy punkt P(3, 1) rzeczywiście leży na tej prostej. Możesz to zrobić, podstawiając współrzędne punktu do równania i sprawdzając, czy równość jest spełniona. Na przykład, dla równania y = 2x - 5, sprawdzamy: 1 = 2 * 3 - 5, czyli 1 = 6 - 5, czyli 1 = 1. Zatem punkt P(3, 1) leży na tej prostej.