Wyznacz Równanie Osi Symetrii Paraboli Oraz Współrzędne Jej Wierzchołka

Dobrze, drodzy uczniowie, przejdźmy do kluczowych zagadnień związanych z parabolą: jak efektywnie wyznaczyć równanie jej osi symetrii oraz precyzyjnie określić współrzędne wierzchołka.

Zacznijmy od formy ogólnej równania kwadratowego, które definiuje parabolę:

f(x) = ax² + bx + c,

gdzie a, b, i c są stałymi, a a ≠ 0. To fundamentalna postać, od której rozpoczynamy nasze rozważania.

Wyznaczanie Równania Osi Symetrii

Oś symetrii paraboli to pionowa linia, która dzieli ją na dwie identyczne, lustrzane części. Równanie tej linii ma postać x = p, gdzie p jest współrzędną x wierzchołka paraboli. Aby znaleźć p, stosujemy następujący wzór:

p = -b / 2a.

Podstawiamy wartości b i a z naszego równania kwadratowego do tego wzoru. Otrzymana wartość p jest dokładnie tą wartością, którą wprowadzamy do równania osi symetrii: x = p.

Przykładowo, jeśli mamy równanie f(x) = 2x² + 8x - 3, to a = 2 i b = 8. Stosując wzór, otrzymujemy:

p = -8 / (2 * 2) = -8 / 4 = -2.

Zatem równanie osi symetrii to x = -2.

Rozważmy teraz bardziej skomplikowany przykład: f(x) = -3x² + 5x + 1. W tym przypadku a = -3 i b = 5. Wtedy:

p = -5 / (2 * -3) = -5 / -6 = 5/6.

Oznacza to, że oś symetrii ma równanie x = 5/6.

Kluczowe jest, aby poprawnie zidentyfikować wartości a i b z równania kwadratowego. Należy zwrócić szczególną uwagę na znaki – minusy odgrywają tu kluczową rolę.

Wyznaczanie Współrzędnych Wierzchołka Paraboli

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym parabola osiąga swoje minimum (gdy a > 0) lub maksimum (gdy a < 0). Współrzędne wierzchołka to (p, q), gdzie p już wyznaczyliśmy jako -b / 2a. Pozostaje nam wyznaczyć q.

q jest wartością funkcji f(x) dla x = p. Oznacza to, że aby obliczyć q, podstawiamy obliczoną wartość p do oryginalnego równania kwadratowego:

q = f(p) = a(p)² + b(p) + c.

Wracając do naszego pierwszego przykładu, f(x) = 2x² + 8x - 3, gdzie p = -2. Obliczamy q:

q = f(-2) = 2(-2)² + 8(-2) - 3 = 2(4) - 16 - 3 = 8 - 16 - 3 = -11.

Zatem współrzędne wierzchołka to (-2, -11).

W drugim przykładzie, f(x) = -3x² + 5x + 1, gdzie p = 5/6. Obliczamy q:

q = f(5/6) = -3(5/6)² + 5(5/6) + 1 = -3(25/36) + 25/6 + 1 = -25/12 + 50/12 + 12/12 = 37/12.

Współrzędne wierzchołka to zatem (5/6, 37/12).

Podsumowując, aby znaleźć współrzędne wierzchołka:

1. Oblicz p = -b / 2a.
2. Oblicz q = f(p) = a(p)² + b(p) + c.
3. Wierzchołek ma współrzędne (p, q).

Postać Kanoniczna Równania Kwadratowego

Równanie kwadratowe można zapisać w postaci kanonicznej:

f(x) = a(x - p)² + q,

gdzie (p, q) to współrzędne wierzchołka paraboli. Przekształcenie równania ogólnego do postaci kanonicznej może być pomocne w szybkim odczytaniu współrzędnych wierzchołka i równania osi symetrii. Postać kanoniczna odzwierciedla przesunięcie i rozciągnięcie paraboli y = ax².

Aby przekształcić równanie ogólne do postaci kanonicznej, najpierw wyznaczamy p i q tak jak opisano powyżej. Następnie podstawiamy te wartości do postaci kanonicznej.

Weźmy ponownie nasz pierwszy przykład, f(x) = 2x² + 8x - 3. Wiemy, że p = -2 i q = -11. Zatem postać kanoniczna to:

f(x) = 2(x - (-2))² + (-11) = 2(x + 2)² - 11.

Z postaci kanonicznej od razu widzimy, że wierzchołek ma współrzędne (-2, -11), a oś symetrii ma równanie x = -2.

Drugi przykład, f(x) = -3x² + 5x + 1, gdzie p = 5/6 i q = 37/12. Postać kanoniczna:

f(x) = -3(x - 5/6)² + 37/12.

Wierzchołek to (5/6, 37/12), a oś symetrii x = 5/6.

Przekształcenie do postaci kanonicznej może wymagać pewnej wprawy w operacjach algebraicznych, ale jest to bardzo użyteczne narzędzie.

Kilka Dodatkowych Uwaga

• Znaczenie współczynnika a: Współczynnik a w równaniu kwadratowym decyduje o kierunku otwarcia ramion paraboli. Jeśli a > 0, ramiona paraboli są skierowane w górę (parabola ma minimum). Jeśli a < 0, ramiona paraboli są skierowane w dół (parabola ma maksimum). Absolutna wartość a wpływa na "szerokość" paraboli – im większa wartość bezwzględna a, tym węższa parabola.
• Wpływ delty (Δ): Delta (Δ) równania kwadratowego, obliczana jako Δ = b² - 4ac, informuje nas o liczbie miejsc zerowych paraboli. Jeśli Δ > 0, parabola ma dwa różne miejsca zerowe. Jeśli Δ = 0, parabola ma jedno (podwójne) miejsce zerowe (wierzchołek leży na osi x). Jeśli Δ < 0, parabola nie ma miejsc zerowych. Miejsca zerowe można znaleźć, rozwiązując równanie ax² + bx + c = 0.
• Wykorzystanie pochodnej: Dla osób zaznajomionych z rachunkiem różniczkowym, współrzędną x wierzchołka paraboli można znaleźć, obliczając pochodną funkcji f(x) i przyrównując ją do zera: f'(x) = 2ax + b = 0. Rozwiązanie tego równania to x = -b / 2a, czyli dokładnie p.

Pamiętajcie, dokładność w obliczeniach i poprawna identyfikacja współczynników a, b, i c to klucz do sukcesu. Ćwiczenia i rozwiązywanie różnorodnych przykładów pomogą Wam utrwalić te umiejętności. Powodzenia!