Wyznacz Równanie Okręgu Opisanego Na Trójkącie Prostokątnym Abc

Hej uczniowie! Dzisiaj zajmiemy się zadaniem, które często pojawia się na kartkówkach i egzaminach: jak znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ABC. Brzmi strasznie? Spokojnie, rozłożymy to na czynniki pierwsze!

Zacznijmy od tego, co to w ogóle znaczy „okrąg opisany na trójkącie”. Wyobraźcie sobie, że macie trójkąt. Teraz narysujcie okrąg tak, żeby każdy wierzchołek tego trójkąta leżał dokładnie na tym okręgu. To jest właśnie okrąg opisany na trójkącie.

W przypadku trójkąta prostokątnego sprawa jest o wiele prostsza niż w przypadku innych trójkątów. Dlaczego? Ponieważ istnieje pewna super ważna i super przydatna właściwość: środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym znajduje się dokładnie w połowie przeciwprostokątnej! To klucz do sukcesu.

No dobrze, ale jak to wykorzystać, żeby znaleźć równanie okręgu? Spójrzmy.

Krok po Kroku: Znajdujemy Równanie Okręgu

Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny ABC. Musimy znać współrzędne wierzchołków A, B i C. Bez tego ani rusz. Załóżmy, że:

• A = (x1, y1)
• B = (x2, y2)
• C = (x3, y3)

I powiedzmy, że kąt prosty jest przy wierzchołku B (ważne, żeby wiedzieć, który bok jest przeciwprostokątną!). Wtedy przeciwprostokątną jest odcinek AC.

1. Znajdujemy środek przeciwprostokątnej: Tak jak powiedziałem, środek przeciwprostokątnej AC jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego. Oznaczmy ten środek jako punkt O (od "okrąg", żeby było łatwiej zapamiętać). Jak znaleźć współrzędne środka odcinka, mając współrzędne jego końców? To proste! Średnia arytmetyczna współrzędnych. Czyli:

   • xO = (x1 + x3) / 2
   • yO = (y1 + y3) / 2

   Mamy współrzędne środka okręgu: O = (xO, yO). Świetnie!

2. Obliczamy promień okręgu: Promień okręgu (oznaczmy go jako r) to odległość od środka okręgu (punkt O) do dowolnego wierzchołka trójkąta (A, B lub C). Najłatwiej będzie obliczyć odległość od O do A, czyli długość odcinka OA. Możemy też obliczyć odległość od O do C, bo już wykorzystaliśmy współrzędne punktu C do znalezienia środka okręgu. Wzór na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych jest następujący:

   • r = √((x1 - xO)² + (y1 - yO)²)

   Możemy też policzyć promień jako połowę długości przeciwprostokątnej AC:

   • Długość AC = √((x3 - x1)² + (y3 - y1)²)
   • r = (Długość AC) / 2

   Oba sposoby dadzą ten sam wynik, więc wybierzcie ten, który wydaje się Wam prostszy.

3. Piszemy równanie okręgu: Teraz, kiedy mamy współrzędne środka okręgu (xO, yO) i promień okręgu (r), możemy napisać równanie okręgu. Ogólna postać równania okręgu to:

   • (x - xO)² + (y - yO)² = r²

   Wystarczy podstawić obliczone wcześniej wartości xO, yO i r do tego równania i gotowe! To jest równanie okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ABC.

Przykładowe Zadanie

Żeby to wszystko lepiej zrozumieć, rozwiążmy przykładowe zadanie. Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny ABC, gdzie:

• A = (1, 1)
• B = (1, 5)
• C = (4, 1)

Kąt prosty jest przy wierzchołku A (możemy to sprawdzić, licząc długości boków i sprawdzając twierdzenie Pitagorasa, ale dla uproszczenia załóżmy, że tak jest). Wtedy przeciwprostokątną jest odcinek BC.

1. Znajdujemy środek przeciwprostokątnej BC:

   • xO = (x2 + x3) / 2 = (1 + 4) / 2 = 2.5
   • yO = (y2 + y3) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3

   Środek okręgu to O = (2.5, 3).

2. Obliczamy promień okręgu: Obliczmy odległość od O do B:

   • r = √((x2 - xO)² + (y2 - yO)²) = √((1 - 2.5)² + (5 - 3)²) = √((-1.5)² + 2²) = √(2.25 + 4) = √6.25 = 2.5

   Promień okręgu wynosi r = 2.5. Możemy też obliczyć długość BC i podzielić na 2:

   • Długość BC = √((4 - 1)² + (1 - 5)²) = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
   • r = 5 / 2 = 2.5

3. Piszę równanie okręgu:

   • (x - xO)² + (y - yO)² = r²
   • (x - 2.5)² + (y - 3)² = (2.5)²
   • (x - 2.5)² + (y - 3)² = 6.25

   To jest równanie okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ABC.

Kilka Ważnych Wskazówek

• Sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny: Zanim zaczniesz liczyć, upewnij się, że trójkąt na pewno jest prostokątny! Możesz to sprawdzić, licząc długości boków i sprawdzając, czy spełnione jest twierdzenie Pitagorasa (a² + b² = c², gdzie c to najdłuższy bok).
• Uważaj na znaki: Przy obliczaniu współrzędnych środka okręgu i promienia bardzo ważne jest, żeby nie pomylić się ze znakami. Jeden zły znak i całe zadanie pójdzie na marne.
• Rysunek pomocniczy: Zawsze warto narysować sobie rysunek pomocniczy. Dzięki temu łatwiej będzie Ci zwizualizować zadanie i uniknąć błędów. Zaznacz na rysunku współrzędne wierzchołków trójkąta, środek okręgu i promień.
• Upraksuj!: Najlepszy sposób na opanowanie tego typu zadań to rozwiązywanie jak największej liczby przykładów. Im więcej zadań rozwiążesz, tym łatwiej będzie Ci zauważyć schematy i unikać błędów.

Pamiętajcie, że matematyka wymaga praktyki. Im więcej ćwiczycie, tym lepiej będziecie rozumieć i rozwiązywać zadania. Powodzenia na kartkówkach i egzaminach! A jeśli macie jakieś pytania, zawsze możecie mnie zapytać. Jestem tu, żeby Wam pomóc!