Wyznacz Równanie Okręgu Którego średnicą Jest Odcinek Ab

Niech A(x₁, y₁) oraz B(x₂, y₂) będą końcami odcinka AB, który jest średnicą szukanego okręgu. Naszym celem jest wyznaczenie równania tego okręgu.

Środek okręgu, oznaczmy go przez S(x₀, y₀), leży w połowie odcinka AB. Zatem jego współrzędne możemy obliczyć jako średnią arytmetyczną współrzędnych punktów A i B:

x₀ = (x₁ + x₂) / 2 y₀ = (y₁ + y₂) / 2

W ten sposób otrzymujemy współrzędne środka okręgu: S((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2).

Promień okręgu, oznaczmy go przez r, jest równy połowie długości odcinka AB. Długość odcinka AB możemy obliczyć ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

|AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Zatem promień okręgu wynosi:

r = |AB| / 2 = √( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) / 2

Znając współrzędne środka S(x₀, y₀) i promień r, możemy zapisać równanie okręgu w postaci kanonicznej:

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

Podstawiając wcześniej wyznaczone wartości x₀, y₀ oraz r, otrzymujemy:

(x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = (√( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) / 2)²

Upraszczając prawą stronę równania:

(x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = ( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) / 4

Równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB o końcach A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂), ma postać:

(x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = ( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) / 4

Alternatywna Metoda - Wykorzystanie Własności Kąta Wpisanego

Wykorzystamy fakt, że kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym. Niech P(x, y) będzie dowolnym punktem na okręgu. Wtedy kąt APB jest kątem prostym. Wektory AP i BP są prostopadłe. Iloczyn skalarny wektorów prostopadłych jest równy zero.

Wektor AP = [x - x₁, y - y₁] Wektor BP = [x - x₂, y - y₂]

Iloczyn skalarny AP · BP = 0, czyli:

(x - x₁) * (x - x₂) + (y - y₁) * (y - y₂) = 0

Rozwijając powyższe wyrażenie:

x² - xx₂ - xx₁ + x₁x₂ + y² - yy₂ - yy₁ + y₁y₂ = 0

x² + y² - x*(x₁ + x₂) - y*(y₁ + y₂) + x₁x₂ + y₁y₂ = 0

Jest to inna postać równania okręgu. Możemy ją przekształcić do postaci kanonicznej. Uzupełnimy do pełnych kwadratów wyrażenia zawierające x i y:

(x² - x*(x₁ + x₂)) + (y² - y*(y₁ + y₂)) + x₁x₂ + y₁y₂ = 0

(x² - x*(x₁ + x₂) + ((x₁ + x₂) / 2)²) + (y² - y*(y₁ + y₂) + ((y₁ + y₂) / 2)²) + x₁x₂ + y₁y₂ - ((x₁ + x₂) / 2)² - ((y₁ + y₂) / 2)² = 0

(x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = ((x₁ + x₂) / 2)² + ((y₁ + y₂) / 2)² - x₁x₂ - y₁y₂

(x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = (x₁² + 2x₁x₂ + x₂²) / 4 + (y₁² + 2y₁y₂ + y₂²) / 4 - x₁x₂ - y₁y₂

(x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = (x₁² - 2x₁x₂ + x₂²) / 4 + (y₁² - 2y₁y₂ + y₂²) / 4

(x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = ( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) / 4

Otrzymaliśmy identyczne równanie okręgu jak poprzednio.

Wniosek: Równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB o końcach A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂), można przedstawić na dwa sposoby:

1. (x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = ( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) / 4 (postać kanoniczna)
2. (x - x₁) * (x - x₂) + (y - y₁) * (y - y₂) = 0 (postać ogólna wyprowadzona z własności kąta wpisanego)

Obie formy są równoważne i opisują ten sam okrąg. Wybór, której z nich użyć, zależy od konkretnej sytuacji i preferencji. Druga forma, choć mniej intuicyjna na pierwszy rzut oka, bywa prostsza w zastosowaniu w niektórych przypadkach, ponieważ nie wymaga obliczania współrzędnych środka i promienia okręgu.

Przykład Zastosowania

Załóżmy, że mamy punkty A(1, 2) i B(5, 4). Odcinek AB jest średnicą okręgu. Wyznaczmy równanie tego okręgu.

Korzystając ze wzoru na współrzędne środka:

x₀ = (1 + 5) / 2 = 3 y₀ = (2 + 4) / 2 = 3

Środek okręgu to S(3, 3).

Obliczamy promień:

r = √( (5 - 1)² + (4 - 2)² ) / 2 = √(16 + 4) / 2 = √20 / 2 = √(5)

Równanie okręgu:

(x - 3)² + (y - 3)² = (√(5))²

(x - 3)² + (y - 3)² = 5

Alternatywnie, korzystając z drugiego wzoru:

(x - 1) * (x - 5) + (y - 2) * (y - 4) = 0

x² - 5x - x + 5 + y² - 4y - 2y + 8 = 0

x² - 6x + y² - 6y + 13 = 0

Przekształcając do postaci kanonicznej:

(x² - 6x + 9) + (y² - 6y + 9) + 13 - 9 - 9 = 0

(x - 3)² + (y - 3)² - 5 = 0

(x - 3)² + (y - 3)² = 5

Otrzymujemy to samo równanie.

Podsumowując, istnieją dwa sposoby wyznaczenia równania okręgu, którego średnicą jest odcinek AB. Oba prowadzą do tego samego wyniku, a wybór zależy od preferencji i kontekstu problemu.