Wyznacz Punkty Przecięcia Paraboli Z Osiami Układu Współrzędnych

Dobrze, przygotujmy artykuł wyjaśniający, jak znaleźć punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych.

Wyznaczanie Punktów Przecięcia Paraboli z Osiami Układu Współrzędnych

Parabola to fajna krzywa, która powstaje, kiedy narysujemy wykres funkcji kwadratowej. Funkcja kwadratowa ma ogólny wzór: f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to liczby (a nie może być zerem). Żeby narysować porządny wykres, warto wiedzieć, gdzie ta parabola przecina osie X i Y. To nam ułatwi szkicowanie i zrozumienie zachowania funkcji.

Przecięcie z osią Y

To jest najprostsza sprawa! Żeby znaleźć punkt, w którym parabola przecina oś Y, musimy wstawić x=0 do naszego wzoru funkcji. Dlaczego? Bo każdy punkt na osi Y ma współrzędną x równą zero. Czyli robimy tak:

f(0) = a * 0² + b * 0 + c f(0) = c

Czyli, punkt przecięcia z osią Y to (0, c). Po prostu! Widać, że współrzędna Y tego punktu to po prostu wyraz wolny "c" z naszego równania kwadratowego. Spójrzmy na przykład:

Mamy funkcję f(x) = 2x² - 3x + 5. Żeby znaleźć punkt przecięcia z osią Y, wstawiamy x=0:

f(0) = 2 * 0² - 3 * 0 + 5 f(0) = 5

Zatem, parabola przecina oś Y w punkcie (0, 5). Proste, prawda?

Przecięcie z osią X

Tutaj sprawa jest odrobinę bardziej skomplikowana, ale bez paniki! Żeby znaleźć punkty, w których parabola przecina oś X, musimy znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Dlaczego? Bo każdy punkt na osi X ma współrzędną y równą zero. Czyli, musimy rozwiązać równanie:

ax² + bx + c = 0

Czyli, szukamy takich "x", dla których wartość funkcji (czyli "y") jest równa zero. I tutaj wkracza do akcji delta (Δ).

Delta to takie magiczne wyrażenie, które nam powie, ile miejsc zerowych ma nasza funkcja kwadratowa. Wzór na deltę to:

Δ = b² - 4ac

Teraz:

• Jeśli Δ > 0 (delta jest większa od zera), to mamy dwa różne miejsca zerowe (czyli dwa punkty przecięcia z osią X).
• Jeśli Δ = 0 (delta jest równa zero), to mamy jedno miejsce zerowe (czyli parabola dotyka osi X w jednym punkcie).
• Jeśli Δ < 0 (delta jest mniejsza od zera), to nie mamy miejsc zerowych (czyli parabola w ogóle nie przecina osi X).

Liczymy miejsca zerowe

Jeśli już wiemy, ile miejsc zerowych mamy (dzięki delcie), możemy je policzyć.

• Jeśli Δ > 0, to używamy następujących wzorów:

  x₁ = (-b - √Δ) / 2a x₂ = (-b + √Δ) / 2a

  Punkty przecięcia z osią X to (x₁, 0) i (x₂, 0).

• Jeśli Δ = 0, to mamy tylko jedno miejsce zerowe:

  x = -b / 2a

  Punkt przecięcia z osią X to (x, 0).

Przykłady

1. Mamy funkcję f(x) = x² - 5x + 6. Znajdźmy punkty przecięcia z osią X.

   Najpierw liczymy deltę:

   Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

   Delta jest większa od zera, więc mamy dwa miejsca zerowe.

   Liczymy je:

   x₁ = (5 - √1) / (2 * 1) = (5 - 1) / 2 = 2 x₂ = (5 + √1) / (2 * 1) = (5 + 1) / 2 = 3

   Czyli, parabola przecina oś X w punktach (2, 0) i (3, 0).

2. Mamy funkcję f(x) = x² + 4x + 4. Znajdźmy punkty przecięcia z osią X.

   Najpierw liczymy deltę:

   Δ = (4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0

   Delta jest równa zero, więc mamy jedno miejsce zerowe.

   Liczymy je:

   x = -4 / (2 * 1) = -2

   Czyli, parabola przecina oś X w punkcie (-2, 0). Tak naprawdę, to ona w tym punkcie tylko dotyka osi X, bo delta jest równa zero.

3. Mamy funkcję f(x) = x² + x + 1. Znajdźmy punkty przecięcia z osią X.

   Najpierw liczymy deltę:

   Δ = (1)² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

   Delta jest mniejsza od zera, więc nie mamy miejsc zerowych. Czyli, parabola w ogóle nie przecina osi X.

Podsumowanie

Wyznaczanie punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych to bardzo ważna umiejętność. Dzięki temu możemy łatwo narysować wykres funkcji kwadratowej i zrozumieć, jak się ona zachowuje. Pamiętaj, punkt przecięcia z osią Y znajdziesz wstawiając x=0 do równania, a punkty przecięcia z osią X znajdziesz rozwiązując równanie kwadratowe (czyli szukając miejsc zerowych). Delta Ci powie, ile tych miejsc zerowych masz.

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest pomocne! Powodzenia w rozwiązywaniu zadań z parabolami!