Wyznacz Pierwszy Wyraz I Różnice Ciągu Arytmetycznego An Jeśli

Rozważmy problem wyznaczenia pierwszego wyrazu i różnicy ciągu arytmetycznego (aₙ), mając dane pewne informacje na jego temat. Zadania tego typu pojawiają się często w szkołach średnich i na studiach, a zrozumienie metodologii ich rozwiązywania jest kluczowe dla opanowania tematyki ciągów. Przeanalizujmy kilka przykładów i pokażmy, jak krok po kroku, dojść do rozwiązania.

Załóżmy, że znamy dwa wyrazy ciągu: a₅ = 12 i a₈ = 18. Naszym celem jest znalezienie a₁ (pierwszego wyrazu) oraz r (różnicy ciągu).

Wiemy, że ogólny wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: aₙ = a₁ + (n-1)r.

Zatem możemy zapisać:

a₅ = a₁ + 4r = 12 a₈ = a₁ + 7r = 18

Mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Możemy rozwiązać go metodą podstawiania lub metodą przeciwnych współczynników. Zastosujmy metodę przeciwnych współczynników. Pomnóżmy pierwsze równanie przez -1:

-a₁ - 4r = -12 a₁ + 7r = 18

Teraz dodajmy oba równania stronami:

3r = 6

Dzielimy przez 3:

r = 2

Teraz, gdy znamy r, możemy obliczyć a₁. Podstawmy r = 2 do pierwszego równania:

a₁ + 4(2) = 12 a₁ + 8 = 12 a₁ = 4

Zatem, pierwszy wyraz ciągu a₁ = 4, a różnica ciągu r = 2.

Sprawdźmy, czy to prawda. Jeśli a₁ = 4 i r = 2, to:

a₅ = 4 + 4(2) = 4 + 8 = 12 a₈ = 4 + 7(2) = 4 + 14 = 18

Wyniki się zgadzają.

Rozważmy inny przypadek. Załóżmy, że suma pierwszych trzech wyrazów ciągu (S₃) wynosi 15, a suma pierwszych pięciu wyrazów (S₅) wynosi 45. Jak wyznaczyć a₁ i r?

Wiemy, że suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: Sₙ = (2a₁ + (n-1)r) * n / 2

Zatem:

S₃ = (2a₁ + 2r) * 3 / 2 = 15 S₅ = (2a₁ + 4r) * 5 / 2 = 45

Uprośćmy równania:

(2a₁ + 2r) * 3 = 30 (2a₁ + 4r) * 5 = 90

Podzielmy pierwsze równanie przez 3, a drugie przez 5:

2a₁ + 2r = 10 2a₁ + 4r = 18

Ponownie otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Użyjmy metody przeciwnych współczynników. Pomnóżmy pierwsze równanie przez -1:

-2a₁ - 2r = -10 2a₁ + 4r = 18

Dodajemy równania stronami:

2r = 8 r = 4

Teraz podstawiamy r = 4 do pierwszego równania:

2a₁ + 2(4) = 10 2a₁ + 8 = 10 2a₁ = 2 a₁ = 1

Zatem, pierwszy wyraz ciągu a₁ = 1, a różnica ciągu r = 4.

Sprawdźmy wyniki:

S₃ = (2(1) + 2(4)) * 3 / 2 = (2 + 8) * 3 / 2 = 10 * 3 / 2 = 15 S₅ = (2(1) + 4(4)) * 5 / 2 = (2 + 16) * 5 / 2 = 18 * 5 / 2 = 45

Wyniki się zgadzają.

Ciągi Arytmetyczne: Zaawansowane Zadania

Rozważmy zadanie, w którym wiemy, że a₂ + a₅ = 16 oraz a₃ * a₄ = 63. Znajdź a₁ i r.

Zapiszmy a₂ i a₅ za pomocą a₁ i r:

a₂ = a₁ + r a₅ = a₁ + 4r

Zatem:

a₁ + r + a₁ + 4r = 16 2a₁ + 5r = 16

Teraz zapiszmy a₃ i a₄:

a₃ = a₁ + 2r a₄ = a₁ + 3r

Zatem:

(a₁ + 2r) * (a₁ + 3r) = 63 a₁² + 5a₁r + 6r² = 63

Mamy układ dwóch równań:

2a₁ + 5r = 16 a₁² + 5a₁r + 6r² = 63

Z pierwszego równania wyznaczmy a₁:

2a₁ = 16 - 5r a₁ = (16 - 5r) / 2

Podstawmy to do drugiego równania:

((16 - 5r) / 2)² + 5((16 - 5r) / 2)r + 6r² = 63 (256 - 160r + 25r²) / 4 + (80r - 25r²) / 2 + 6r² = 63

Pomnóżmy wszystko przez 4:

256 - 160r + 25r² + 160r - 50r² + 24r² = 252 -r² = -4 r² = 4 r = 2 lub r = -2

Rozważmy przypadek r = 2:

a₁ = (16 - 5(2)) / 2 = (16 - 10) / 2 = 6 / 2 = 3

Zatem, jeśli r = 2, to a₁ = 3.

Sprawdźmy:

a₂ = 3 + 2 = 5 a₅ = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11 a₂ + a₅ = 5 + 11 = 16

a₃ = 3 + 2(2) = 3 + 4 = 7 a₄ = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9 a₃ * a₄ = 7 * 9 = 63

Wyniki się zgadzają.

Teraz rozważmy przypadek r = -2:

a₁ = (16 - 5(-2)) / 2 = (16 + 10) / 2 = 26 / 2 = 13

Zatem, jeśli r = -2, to a₁ = 13.

Sprawdźmy:

a₂ = 13 - 2 = 11 a₅ = 13 + 4(-2) = 13 - 8 = 5 a₂ + a₅ = 11 + 5 = 16

a₃ = 13 + 2(-2) = 13 - 4 = 9 a₄ = 13 + 3(-2) = 13 - 6 = 7 a₃ * a₄ = 9 * 7 = 63

Wyniki się zgadzają.

W tym przypadku mamy dwa możliwe rozwiązania:

a₁ = 3, r = 2
a₁ = 13, r = -2

Praktyczne Wskazówki

Pamiętaj o kilku ważnych rzeczach podczas rozwiązywania zadań z ciągami arytmetycznymi:

Zawsze wypisuj dane. Ułatwi to zrozumienie problemu i znalezienie odpowiedniego wzoru.
Zapisuj ogólny wzór ciągu arytmetycznego i wzór na sumę n początkowych wyrazów.
Zauważ, że mając dwa wyrazy ciągu, zawsze możesz wyznaczyć różnicę.
Uważaj na znaki podczas rozwiązywania układów równań.
Po rozwiązaniu zadania zawsze sprawdź wynik, podstawiając obliczone wartości do danych równań.

Wykorzystanie Własności Ciągów

Często w zadaniach wykorzystywane są własności ciągów, takie jak: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. Znajomość tych własności może znacznie ułatwić rozwiązanie problemu. Przykładowo, jeśli mamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, np. x, y, z, to wiemy, że 2y = x + z. Ta zależność pozwala nam uprościć niektóre równania i szybciej dojść do rozwiązania. Analizując zadanie, warto zastanowić się, czy któraś z własności ciągów może być pomocna.