Wyznacz Najwieksza I Najmniejsza Wartosc Funkcji W Podanym Przedziale

Dobrze, oto artykuł na temat wyznaczania największej i najmniejszej wartości funkcji w podanym przedziale, napisany zgodnie z Twoimi instrukcjami:

Zacznijmy od podstaw. Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) w danym przedziale [a, b], należy wykonać kilka kluczowych kroków.

Pierwszym krokiem jest obliczenie pochodnej funkcji f(x), czyli f'(x). Pochodna informuje nas o tempie zmiany funkcji w danym punkcie.

Następnie, szukamy tak zwanych punktów krytycznych. Są to punkty, w których pochodna f'(x) równa się zero lub nie istnieje. Rozwiązujemy równanie f'(x) = 0. Punkty, które otrzymamy, oznaczamy jako x1, x2, x3, i tak dalej.

Kolejnym krokiem jest sprawdzenie, czy punkty krytyczne należą do naszego przedziału [a, b]. Jeśli punkt krytyczny, np. xi, nie mieści się w przedziale [a, b], ignorujemy go. Interesują nas tylko te punkty krytyczne, które leżą wewnątrz lub na krańcach przedziału.

Teraz obliczamy wartość funkcji f(x) w każdym z punktów krytycznych, które należą do przedziału [a, b], czyli f(x1), f(x2), f(x3), itd.

Dodatkowo, obliczamy wartość funkcji f(x) na krańcach przedziału, czyli f(a) oraz f(b).

Porównujemy wszystkie obliczone wartości: f(x1), f(x2), f(x3), ..., f(a), f(b).

Największa z tych wartości to największa wartość funkcji f(x) w przedziale [a, b].

Najmniejsza z tych wartości to najmniejsza wartość funkcji f(x) w przedziale [a, b].

Przykład 1:

Rozważmy funkcję f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 w przedziale [-1, 5].

1. Obliczamy pochodną: f'(x) = 3x^2 - 12x.
2. Szukamy punktów krytycznych: 3x^2 - 12x = 0. Faktoryzujemy: 3x(x - 4) = 0. Zatem x = 0 lub x = 4.
3. Sprawdzamy, czy punkty krytyczne należą do przedziału [-1, 5]. Oba punkty, x = 0 i x = 4, należą do przedziału.
4. Obliczamy wartość funkcji w punktach krytycznych:
   • f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 5 = 5
   • f(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27
5. Obliczamy wartość funkcji na krańcach przedziału:
   • f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 5 = -1 - 6 + 5 = -2
   • f(5) = (5)^3 - 6(5)^2 + 5 = 125 - 150 + 5 = -20
6. Porównujemy wartości: 5, -27, -2, -20.
7. Największa wartość to 5.
8. Najmniejsza wartość to -27.

Zatem największa wartość funkcji f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 w przedziale [-1, 5] wynosi 5, a najmniejsza wartość wynosi -27.

Przykład 2:

Rozważmy funkcję f(x) = x^2 - 4x + 7 w przedziale [0, 3].

1. Obliczamy pochodną: f'(x) = 2x - 4.
2. Szukamy punktów krytycznych: 2x - 4 = 0. Zatem x = 2.
3. Sprawdzamy, czy punkt krytyczny należy do przedziału [0, 3]. Punkt x = 2 należy do przedziału.
4. Obliczamy wartość funkcji w punkcie krytycznym: f(2) = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3.
5. Obliczamy wartość funkcji na krańcach przedziału:
   • f(0) = (0)^2 - 4(0) + 7 = 7
   • f(3) = (3)^2 - 4(3) + 7 = 9 - 12 + 7 = 4
6. Porównujemy wartości: 3, 7, 4.
7. Największa wartość to 7.
8. Najmniejsza wartość to 3.

Zatem największa wartość funkcji f(x) = x^2 - 4x + 7 w przedziale [0, 3] wynosi 7, a najmniejsza wartość wynosi 3.

Funkcje Złożone i Przedziały Zamknięte

W przypadku bardziej złożonych funkcji, takich jak funkcje trygonometryczne lub wykładnicze, proces pozostaje zasadniczo ten sam, ale obliczenie pochodnej i rozwiązanie równania f'(x) = 0 może być trudniejsze. W takich przypadkach warto skorzystać z programów komputerowych lub kalkulatorów graficznych, które pomogą w znalezieniu punktów krytycznych.

Dodatkowo, należy zwrócić szczególną uwagę na przedziały, które są zamknięte, otwarte, lub półotwarte. W przypadku przedziału otwartego (a, b), wartości funkcji w punktach a i b nie są brane pod uwagę, ponieważ punkty a i b nie należą do przedziału. W takim przypadku, jeśli funkcja dąży do wartości na krańcach przedziału, ale nigdy jej nie osiąga, możemy mówić o supremum i infimum, a nie o maksimum i minimum.

Przykład 3:

Rozważmy funkcję f(x) = sin(x) w przedziale [0, 2π].

1. Obliczamy pochodną: f'(x) = cos(x).
2. Szukamy punktów krytycznych: cos(x) = 0. W przedziale [0, 2π], cos(x) = 0 dla x = π/2 oraz x = 3π/2.
3. Sprawdzamy, czy punkty krytyczne należą do przedziału [0, 2π]. Oba punkty należą do przedziału.
4. Obliczamy wartość funkcji w punktach krytycznych:
   • f(π/2) = sin(π/2) = 1
   • f(3π/2) = sin(3π/2) = -1
5. Obliczamy wartość funkcji na krańcach przedziału:
   • f(0) = sin(0) = 0
   • f(2π) = sin(2π) = 0
6. Porównujemy wartości: 1, -1, 0, 0.
7. Największa wartość to 1.
8. Najmniejsza wartość to -1.

Zatem największa wartość funkcji f(x) = sin(x) w przedziale [0, 2π] wynosi 1, a najmniejsza wartość wynosi -1.

Specjalne Przypadki i Funkcje Nieróżniczkowalne

Czasami, funkcja może nie być różniczkowalna w pewnych punktach przedziału. Na przykład, funkcja |x| (wartość bezwzględna z x) nie jest różniczkowalna w punkcie x = 0. W takim przypadku, musimy dodatkowo sprawdzić wartość funkcji w tych punktach nieróżniczkowalności.

Przykład 4:

Rozważmy funkcję f(x) = |x| w przedziale [-1, 2].

1. Funkcja f(x) = |x| jest zdefiniowana jako:
   • f(x) = x, dla x >= 0
   • f(x) = -x, dla x < 0
2. Pochodna:
   • f'(x) = 1, dla x > 0
   • f'(x) = -1, dla x < 0
3. Funkcja nie jest różniczkowalna w x = 0.
4. Sprawdzamy punkt nieróżniczkowalności x = 0, który należy do przedziału [-1, 2].
   • f(0) = |0| = 0
5. Obliczamy wartość funkcji na krańcach przedziału:
   • f(-1) = |-1| = 1
   • f(2) = |2| = 2
6. Porównujemy wartości: 0, 1, 2.
7. Największa wartość to 2.
8. Najmniejsza wartość to 0.

Zatem największa wartość funkcji f(x) = |x| w przedziale [-1, 2] wynosi 2, a najmniejsza wartość wynosi 0.

Wnioskiem jest to, że wyznaczanie największej i najmniejszej wartości funkcji w danym przedziale wymaga systematycznego podejścia, obliczenia pochodnej, znalezienia punktów krytycznych, sprawdzenia krańców przedziału i, w razie potrzeby, uwzględnienia punktów nieróżniczkowalności. Zrozumienie tych kroków pozwoli na rozwiązanie szerokiego zakresu problemów związanych z optymalizacją funkcji.