Wysokość Ostrosłupa Prawidłowego Trójkatnego Jest Równa 8

Dobrze, postaram się wytłumaczyć, jak radzić sobie z zadaniami, w których wiemy, że wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 8. Pamiętaj, że ostrosłup prawidłowy trójkątny to taki, który ma w podstawie trójkąt równoboczny, a spodek jego wysokości (czyli punkt, w którym wysokość ostrosłupa opada na podstawę) znajduje się w środku okręgu opisanego na tym trójkącie równobocznym (lub też w punkcie przecięcia się wysokości tego trójkąta – to ten sam punkt).

Zadania tego typu rzadko kiedy ograniczają się jedynie do podania wysokości. Zazwyczaj dostaniemy jeszcze jakąś dodatkową informację, która pozwoli nam wyliczyć to, czego szukamy. Zatem przejdźmy do omówienia kilku typowych scenariuszy i sposobów ich rozwiązywania.

Jeśli dostaniemy informację o długości krawędzi podstawy (oznaczmy ją jako 'a') i wysokości ostrosłupa (H=8), to możemy próbować obliczyć:

Długość krawędzi bocznej (b): W takim wypadku musimy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, ale uwaga – musimy znać odpowiednie długości boków trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną będzie krawędź boczna. Jedną z przyprostokątnych jest wysokość ostrosłupa (H=8), a drugą jest odległość spodka wysokości ostrosłupa od wierzchołka podstawy. Ta odległość, jak już wspomniałem, jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku 'a' wyraża się wzorem: R = (a√3)/3. Zatem, długość krawędzi bocznej możemy obliczyć ze wzoru: b² = H² + R² = 8² + ((a√3)/3)². Po podstawieniu wartości 'a' (którą musimy znać) i wykonaniu obliczeń, otrzymamy wartość b². Następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy z b², aby uzyskać długość krawędzi bocznej (b).
Pole powierzchni całkowitej (Pc): Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pola podstawy (Pp) i pola powierzchni bocznej (Pb). Pole podstawy to pole trójkąta równobocznego o boku 'a', które obliczamy ze wzoru: Pp = (a²√3)/4. Aby obliczyć pole powierzchni bocznej, potrzebujemy znać wysokość ściany bocznej (oznaczmy ją jako 'h'). Wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa (H=8) i odległość spodka wysokości ostrosłupa od środka krawędzi podstawy (oznaczmy ją jako 'r') tworzą trójkąt prostokątny. Odległość 'r' to promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 'a', który wyraża się wzorem: r = (a√3)/6. Zatem wysokość ściany bocznej (h) możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa: h² = H² + r² = 8² + ((a√3)/6)². Po obliczeniu 'h', pole jednej ściany bocznej (która jest trójkątem) wynosi: (1/2) * a * h. Ponieważ mamy trzy takie ściany, pole powierzchni bocznej wynosi: Pb = 3 * (1/2) * a * h = (3/2) * a * h. Ostatecznie, pole powierzchni całkowitej to: Pc = Pp + Pb = (a²√3)/4 + (3/2) * a * h.
Objętość ostrosłupa (V): Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru: V = (1/3) * Pp * H. Wiemy, że H=8, a Pp (pole podstawy) to (a²√3)/4. Zatem: V = (1/3) * (a²√3)/4 * 8 = (2/3) * a²√3.

Inny Scenariusz: Znamy Kąt Nachylenia Krawędzi Bocznej do Płaszczyzny Podstawy

Jeśli zamiast długości krawędzi podstawy znamy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy (oznaczmy go jako α) i wysokość ostrosłupa (H=8), to możemy obliczyć długość krawędzi podstawy ('a') oraz inne parametry ostrosłupa.

Pamiętamy, że odległość spodka wysokości ostrosłupa od wierzchołka podstawy (R) to promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym. W trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa (H=8) i promień okręgu opisanego na podstawie (R), a przeciwprostokątną jest krawędź boczna, kąt α znajduje się między R a krawędzią boczną. Z definicji tangensa: tan(α) = H / R. Zatem: R = H / tan(α) = 8 / tan(α).

Skoro znamy R, a wiemy, że R = (a√3)/3, możemy wyliczyć długość krawędzi podstawy 'a': a = (3R) / √3 = (3 * (8 / tan(α))) / √3 = (24 / tan(α)) / √3 = (8√3) / tan(α).

Mając 'a' i H, możemy obliczyć wszystkie pozostałe parametry ostrosłupa, tak jak to opisałem powyżej.

Jeszcze Jeden Przypadek: Znamy Kąt Nachylenia Ściany Bocznej do Płaszczyzny Podstawy

Załóżmy, że znamy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy (oznaczmy go jako β) i wysokość ostrosłupa (H=8). W tym przypadku, w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa (H=8) i promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny (r), a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej, kąt β znajduje się między promieniem 'r' a wysokością ściany bocznej. Z definicji tangensa: tan(β) = H / r. Zatem: r = H / tan(β) = 8 / tan(β).

Wiemy, że r = (a√3)/6. Zatem możemy wyliczyć długość krawędzi podstawy 'a': a = (6r) / √3 = (6 * (8 / tan(β))) / √3 = (48 / tan(β)) / √3 = (16√3) / tan(β).

I znowu, mając 'a' i H, możemy obliczyć wszystkie pozostałe parametry ostrosłupa.

Kilka Ważnych Wskazówek:

Rysunek: Zawsze, ale to zawsze, zrób rysunek! Rysunek pomoże Ci zorientować się, jakie trójkąty prostokątne wchodzą w grę i jakie zależności między nimi zachodzą. Oznacz na rysunku wszystkie znane długości i kąty.
Wzory: Pamiętaj o wzorach na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (R = (a√3)/3) i promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny (r = (a√3)/6). Są one kluczowe w tego typu zadaniach.
Twierdzenie Pitagorasa: Twierdzenie Pitagorasa jest Twoim przyjacielem! Używaj go do obliczania długości boków trójkątów prostokątnych, które pojawiają się w ostrosłupie.
Funkcje Trygonometryczne: Jeśli w zadaniu pojawiają się kąty, to prawdopodobnie będziesz musiał użyć funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens) do powiązania długości boków z kątami.

Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest zrozumienie zależności geometrycznych w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym i umiejętność wykorzystywania twierdzenia Pitagorasa oraz funkcji trygonometrycznych. Powodzenia!