Wykaz Ze Suma Czterech Kolejnych Liczb Podzielnych Przez 4

Niech n będzie dowolną liczbą całkowitą. Wówczas cztery kolejne liczby podzielne przez 4 można zapisać jako:

4n, 4n + 4, 4n + 8, 4n + 12.

Ich suma wynosi:

4n + (4n + 4) + (4n + 8) + (4n + 12) = 16n + 24.

Wyrażenie 16n + 24 możemy zapisać jako 8(2n + 3). Ponieważ 2n + 3 jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego n, to 8(2n + 3) jest podzielne przez 8. Zatem, suma czterech kolejnych liczb podzielnych przez 4 jest zawsze podzielna przez 8.

Sprawdźmy to na kilku przykładach:

• n = 1: 4 + 8 + 12 + 16 = 40 = 8 * 5
• n = 2: 8 + 12 + 16 + 20 = 56 = 8 * 7
• n = 3: 12 + 16 + 20 + 24 = 72 = 8 * 9
• n = 0: 0 + 4 + 8 + 12 = 24 = 8 * 3
• n = -1: -4 + 0 + 4 + 8 = 8 = 8 * 1
• n = -2: -8 + -4 + 0 + 4 = -8 = 8 * -1

Jak widać, w każdym przypadku suma jest podzielna przez 8.

Możemy także wyrażenie 16n + 24 zapisać jako 4(4n + 6). To pokazuje, że suma jest również podzielna przez 4. Skoro 4n jest podzielne przez 4, a 6 nie jest, to 4n+6 nie zawsze jest podzielne przez 4. Oznacza to, że wynik nie zawsze jest podzielny przez 16.

Sprawdźmy to:

• n = 1: 4(4*1 + 6) = 4(10) = 40. 40 jest podzielne przez 4, ale nie przez 16.
• n = 2: 4(4*2 + 6) = 4(14) = 56. 56 jest podzielne przez 4, ale nie przez 16.

Wyrażenie 16n + 24 można również zapisać jako:

• 2(8n + 12) - co pokazuje podzielność przez 2.
• 16n + 24 = 16n + 16 + 8 = 16(n+1) + 8 - co pokazuje, że reszta z dzielenia przez 16 wynosi zawsze 8.

Inny Dowód

Niech liczby będą:

4n, 4(n+1), 4(n+2), 4(n+3)

Suma to:

4n + 4(n+1) + 4(n+2) + 4(n+3) = 4n + 4n + 4 + 4n + 8 + 4n + 12 = 16n + 24 = 8(2n + 3)

Wniosek: suma jest zawsze podzielna przez 8.

Uogólnienie

Spróbujmy uogólnić to stwierdzenie. Co, jeśli weźmiemy k kolejnych liczb podzielnych przez m?

Niech te liczby będą:

mn, m(n+1), m(n+2), ..., m(n+k-1)

Suma to:

mn + m(n+1) + m(n+2) + ... + m(n+k-1) = mn + mn + m + mn + 2m + ... + mn + (k-1)m = kmn + m(1 + 2 + ... + (k-1))

Suma liczb od 1 do k-1 to (k-1)k/2. Zatem:

kmn + m(k-1)k/2 = km(n + (k-1)/2)

Jeśli k jest parzyste, to (k-1)/2 nie jest liczbą całkowitą, więc n + (k-1)/2 nie jest liczbą całkowitą. Jeśli k jest nieparzyste, to (k-1)/2 jest liczbą całkowitą, a więc n + (k-1)/2 jest liczbą całkowitą.

Jeśli k jest nieparzyste, to suma k kolejnych liczb podzielnych przez m jest podzielna przez km.

W naszym przypadku, m = 4, k = 4 (parzyste). Suma to 16n + 24. Zgodnie z naszym uogólnieniem, suma nie musi być podzielna przez 16. Wiemy, że jest podzielna przez 8.

Jeśli weźmiemy 3 kolejne liczby podzielne przez 4:

4n, 4(n+1), 4(n+2)

Suma to:

4n + 4n + 4 + 4n + 8 = 12n + 12 = 12(n+1)

Czyli suma jest zawsze podzielna przez 12. Zgodnie z naszym uogólnieniem: k=3, m=4. kmn = 34n = 12n. Suma powinna być podzielna przez km = 12. Zgadza się.

Sprawdźmy:

• 4 + 8 + 12 = 24 = 12 * 2
• 8 + 12 + 16 = 36 = 12 * 3
• 12 + 16 + 20 = 48 = 12 * 4

Koniec Dowodu

Podsumowując, pokazaliśmy, że suma czterech kolejnych liczb podzielnych przez 4 jest zawsze podzielna przez 8. Dodatkowo, rozważyliśmy pewne uogólnienie problemu.