Wykaz Ze Dla Kata Ostrego Alfa Podana Rownosc Jest Tozsamoscia

Rozważmy następującą równość, w której kąt ostry α jest argumentem funkcji trygonometrycznych:

sin^4(α) + cos^4(α) = 1 - (1/2)sin^2(2α)

Chcemy wykazać, że ta równość jest tożsamością trygonometryczną, co oznacza, że jest prawdziwa dla każdego kąta ostrego α.

Zacznijmy od lewej strony równania (L):

L = sin^4(α) + cos^4(α)

Możemy to przekształcić, dodając i odejmując pewne wyrażenie, aby uzyskać postać, którą łatwiej będzie operować:

L = sin^4(α) + 2sin^2(α)cos^2(α) + cos^4(α) - 2sin^2(α)cos^2(α)

Zauważmy, że pierwsze trzy składniki tworzą kwadrat sumy:

L = (sin^2(α) + cos^2(α))^2 - 2sin^2(α)cos^2(α)

Z fundamentalnej tożsamości trygonometrycznej wiemy, że sin^2(α) + cos^2(α) = 1, więc:

L = 1^2 - 2sin^2(α)cos^2(α)
L = 1 - 2sin^2(α)cos^2(α)

Teraz zajmijmy się prawą stroną równania (P):

P = 1 - (1/2)sin^2(2α)

Wykorzystajmy wzór na sinus podwojonego kąta: sin(2α) = 2sin(α)cos(α). Wtedy:

P = 1 - (1/2)(2sin(α)cos(α))^2
P = 1 - (1/2)(4sin^2(α)cos^2(α))
P = 1 - 2sin^2(α)cos^2(α)

Widzimy, że L = P, co oznacza, że równość jest tożsamością.

Sprawdźmy teraz inną tożsamość, która również zawiera kąt ostry α.

(cos(α) + sin(α))^2 + (cos(α) - sin(α))^2 = 2

Lewa strona równania (L) to:

L = (cos(α) + sin(α))^2 + (cos(α) - sin(α))^2

Rozwińmy kwadraty sumy i różnicy:

L = cos^2(α) + 2cos(α)sin(α) + sin^2(α) + cos^2(α) - 2cos(α)sin(α) + sin^2(α)

Zauważmy, że wyrazy 2cos(α)sin(α) i -2cos(α)sin(α) się znoszą:

L = cos^2(α) + sin^2(α) + cos^2(α) + sin^2(α)

Wykorzystując tożsamość trygonometryczną sin^2(α) + cos^2(α) = 1, mamy:

L = 1 + 1
L = 2

Prawa strona (P) to po prostu 2, więc L = P, co dowodzi, że równość jest tożsamością.

Rozważmy teraz tożsamość związaną z tangensem i cotangensem kąta ostrego α:

(tan(α) + cot(α))^2 = sec^2(α) + csc^2(α)

Pamiętajmy, że tan(α) = sin(α)/cos(α), cot(α) = cos(α)/sin(α), sec(α) = 1/cos(α) oraz csc(α) = 1/sin(α).

Zacznijmy od lewej strony (L):

L = (tan(α) + cot(α))^2
L = (sin(α)/cos(α) + cos(α)/sin(α))^2

Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:

L = ((sin^2(α) + cos^2(α))/(sin(α)cos(α)))^2

Korzystając z tożsamości sin^2(α) + cos^2(α) = 1:

L = (1/(sin(α)cos(α)))^2
L = 1/(sin^2(α)cos^2(α))

Teraz prawa strona (P):

P = sec^2(α) + csc^2(α)
P = (1/cos^2(α)) + (1/sin^2(α))

Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:

P = (sin^2(α) + cos^2(α))/(sin^2(α)cos^2(α))

I znowu, używając sin^2(α) + cos^2(α) = 1:

P = 1/(sin^2(α)cos^2(α))

Zatem L = P, co potwierdza, że równość jest tożsamością trygonometryczną.

Dodatkowe Przykłady

Sprawdźmy następującą równość:

sin(α)/(1 + cos(α)) + (1 + cos(α))/sin(α) = 2csc(α)

Lewa strona (L):

L = sin(α)/(1 + cos(α)) + (1 + cos(α))/sin(α)

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

L = (sin^2(α) + (1 + cos(α))^2) / (sin(α)(1 + cos(α)))
L = (sin^2(α) + 1 + 2cos(α) + cos^2(α)) / (sin(α)(1 + cos(α)))

Używamy tożsamości sin^2(α) + cos^2(α) = 1:

L = (1 + 1 + 2cos(α)) / (sin(α)(1 + cos(α)))
L = (2 + 2cos(α)) / (sin(α)(1 + cos(α)))
L = 2(1 + cos(α)) / (sin(α)(1 + cos(α)))

Skracamy (1 + cos(α)):

L = 2 / sin(α)

Pamiętając, że csc(α) = 1/sin(α):

L = 2csc(α)

Prawa strona (P) to 2csc(α), więc L = P, co dowodzi, że równość jest tożsamością.

Kolejna Tożsamość

Spróbujmy wykazać tożsamość:

(1 + sin(α))/cos(α) = cos(α)/(1 - sin(α))

Lewa strona (L):

L = (1 + sin(α))/cos(α)

Prawa strona (P):

P = cos(α)/(1 - sin(α))

Pomnóżmy licznik i mianownik prawej strony przez (1 + sin(α)):

P = cos(α)(1 + sin(α)) / ((1 - sin(α))(1 + sin(α)))
P = cos(α)(1 + sin(α)) / (1 - sin^2(α))

Używamy tożsamości cos^2(α) = 1 - sin^2(α):

P = cos(α)(1 + sin(α)) / cos^2(α)

Skracamy cos(α):

P = (1 + sin(α)) / cos(α)

Zatem L = P, co dowodzi, że to jest tożsamość. Pokazaliśmy, że operacje algebraiczne i stosowanie podstawowych tożsamości trygonometrycznych pozwalają na przekształcenie jednej strony równania w drugą, udowadniając, że równanie jest tożsamością. Te techniki są kluczowe w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów trygonometrycznych.

Podsumowując, wykazanie tożsamości trygonometrycznych polega na manipulowaniu wyrażeniami za pomocą znanych tożsamości i operacji algebraicznych, aż jedna strona równania stanie się identyczna z drugą. Umiejętność ta jest fundamentalna w matematyce i fizyce.