Wśród Poniższych Wyrażeń Znajdują Się Ułamki Algebraiczne Wskaż Je

Dobrze, moi drodzy uczniowie, przejdźmy do sedna sprawy. Zajmiemy się identyfikacją wyrażeń, które kwalifikują się jako ułamki algebraiczne. Sprawa jest prostsza, niż się wydaje, ale wymaga uwagi na detale.

Ułamek algebraiczny, mówiąc najprościej, to wyrażenie, które da się zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Mamy licznik i mianownik, a w przynajmniej jednym z nich – albo w liczniku, albo w mianowniku, albo i tu, i tu – pojawia się zmienna (zazwyczaj oznaczana jako x, ale może to być cokolwiek innego: y, z, a, b, t, itd.). Kluczowe jest, aby ta zmienna nie występowała pod pierwiastkiem (chyba że pierwiastek jest stopnia parzystego i dotyczy tylko stałej – więcej o tym za chwilę), w wartości bezwzględnej, w argumencie funkcji trygonometrycznej (sinus, cosinus, tangens, cotangens), logarytmicznej lub wykładniczej.

A teraz przejdźmy do konkretnych przykładów, aby to wszystko stało się jasne jak słońce.

Załóżmy, że mamy następujące wyrażenia:

1. (x + 2) / (x - 3)
2. 5 / (x^2 + 1)
3. (√2 * x) / (x + 4)
4. (x^3 - 2x + 1) / 7
5. √x / (x - 5)
6. sin(x) / (x + 1)
7. (x + y) / (x - y)
8. (a^2 + b^2) / (a * b)
9. 3 / √5
10. (x + 1) / |x|
11. (x^2 + 4) / (√4)
12. (x^5 - 3x^2 + 2) / (x + 1)^2
13. (x + 2)^-1
14. (x^2 + 1) / (x^-1 + 2)
15. (e^x) / (x + 3)

Spójrzmy na nie po kolei.

Wyrażenie numer 1: (x + 2) / (x - 3). Mamy iloraz dwóch wielomianów. W liczniku mamy x + 2, a w mianowniku x - 3. Zarówno licznik, jak i mianownik są wielomianami, więc to jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 2: 5 / (x^2 + 1). Licznik to stała (5), a mianownik to wielomian (x^2 + 1). Stała może być traktowana jako wielomian stopnia zerowego. Zatem to również jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 3: (√2 * x) / (x + 4). Licznik to wielomian (√2 * x), a mianownik to wielomian (x + 4). Stała √2 nie wpływa na to, że wyrażenie jest ułamkiem algebraicznym. To jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 4: (x^3 - 2x + 1) / 7. Licznik to wielomian (x^3 - 2x + 1), a mianownik to stała (7), którą możemy traktować jako wielomian stopnia zerowego. To jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 5: √x / (x - 5). Tutaj pojawia się problem. Mamy pierwiastek z x w liczniku. Pierwiastek ze zmiennej wyklucza to wyrażenie z kategorii ułamków algebraicznych. To NIE jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 6: sin(x) / (x + 1). W liczniku mamy funkcję trygonometryczną – sinus z x. Obecność funkcji trygonometrycznej wyklucza to wyrażenie z kategorii ułamków algebraicznych. To NIE jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 7: (x + y) / (x - y). Mamy iloraz dwóch wielomianów. Zarówno licznik, jak i mianownik zawierają zmienne (x i y). To jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 8: (a^2 + b^2) / (a * b). Mamy iloraz dwóch wielomianów. Zarówno licznik, jak i mianownik zawierają zmienne (a i b). To jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 9: 3 / √5. W tym przypadku nie ma zmiennych. To jest po prostu liczba, a nie ułamek algebraiczny. To NIE jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 10: (x + 1) / |x|. W mianowniku mamy wartość bezwzględną z x. Obecność wartości bezwzględnej wyklucza to wyrażenie z kategorii ułamków algebraicznych. To NIE jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 11: (x^2 + 4) / (√4). Mianownik to √4, co daje 2. Zatem mamy (x^2 + 4) / 2. Licznik to wielomian, a mianownik to stała. To jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 12: (x^5 - 3x^2 + 2) / (x + 1)^2. Zarówno licznik, jak i mianownik są wielomianami. To jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 13: (x + 2)^-1. Możemy to zapisać jako 1 / (x + 2). Mianownik to wielomian (x + 2). To jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 14: (x^2 + 1) / (x^-1 + 2). Możemy to zapisać jako (x^2 + 1) / (1/x + 2). Aby to uprościć, pomnóżmy licznik i mianownik przez x: [x * (x^2 + 1)] / [x * (1/x + 2)] = (x^3 + x) / (1 + 2x). Zarówno licznik, jak i mianownik są wielomianami. To jest ułamek algebraiczny.

Wyrażenie numer 15: (e^x) / (x + 3). W liczniku mamy funkcję wykładniczą (e do potęgi x). Obecność funkcji wykładniczej wyklucza to wyrażenie z kategorii ułamków algebraicznych. To NIE jest ułamek algebraiczny.

Podsumowanie

Identyfikacja ułamków algebraicznych polega na sprawdzeniu, czy dane wyrażenie da się zapisać jako iloraz dwóch wielomianów, przy czym w przynajmniej jednym z nich musi występować zmienna. Należy zwrócić uwagę na obecność pierwiastków ze zmiennych, wartości bezwzględnych, funkcji trygonometrycznych, logarytmicznych i wykładniczych, ponieważ ich obecność wyklucza dane wyrażenie z kategorii ułamków algebraicznych.

Kilka Dodatkowych Uwagań

Pamiętajcie, że stała może być traktowana jako wielomian stopnia zerowego. Zatem wyrażenie typu x / 5 jest ułamkiem algebraicznym. Kluczowe jest, aby zmienna nie występowała w niedozwolonej formie (pod pierwiastkiem, w wartości bezwzględnej, w funkcji trygonometrycznej, itd.).

Ułamki algebraiczne to podstawa wielu operacji w algebrze, więc zrozumienie ich natury jest niezwykle ważne. Mam nadzieję, że teraz jest to dla Was jasne. Jeśli macie jeszcze jakieś pytania, śmiało pytajcie.