Wskaż Zbiór Wszystkich Wartości Parametru K Dla Których Równanie

Zacznijmy analizować problem znajdowania zbioru wszystkich wartości parametru k, dla których dane równanie ma rozwiązania. Najpierw musimy zrozumieć, od czego zależy istnienie tych rozwiązań i jak k wpływa na tę sytuację. Rozważmy różne typy równań i strategie ich rozwiązywania, koncentrując się na wpływie parametru k.

Pierwszym krokiem jest dokładne przeanalizowanie równania. Musimy zidentyfikować jego typ (liniowe, kwadratowe, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne itp.) oraz ustalić, jak parametr k występuje w równaniu. Czy k jest współczynnikiem przy zmiennej, wyrazem wolnym, argumentem funkcji, czy może pojawia się w bardziej złożony sposób? Odpowiedź na to pytanie pokieruje naszą dalszą strategią.

Rozważmy przykład równania kwadratowego z parametrem:

x² + 2kx + k² - 1 = 0

Aby to równanie miało rozwiązania, jego wyróżnik (delta, oznaczana jako Δ) musi być większy lub równy zero. Przypomnijmy, że dla równania kwadratowego postaci ax² + bx + c = 0, wyróżnik Δ obliczamy ze wzoru Δ = b² - 4ac.

W naszym przypadku:

a = 1 b = 2k c = k² - 1

Zatem:

Δ = (2k)² - 4 * 1 * (k² - 1) Δ = 4k² - 4k² + 4 Δ = 4

Ponieważ Δ = 4, a więc jest zawsze większe od zera, to oznacza, że równanie x² + 2kx + k² - 1 = 0 ma zawsze dwa rozwiązania rzeczywiste, niezależnie od wartości parametru k. Zatem zbiór wartości k to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Kolejnym przykładem może być równanie trygonometryczne:

sin(x) = k

Wiemy, że funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału [-1, 1]. Zatem, aby równanie sin(x) = k miało rozwiązanie, k musi należeć do tego przedziału. Czyli zbiorem wartości k jest przedział domknięty [-1, 1].

Rozważmy teraz równanie z wartością bezwzględną:

|x - 1| = k

Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna. Dlatego, aby to równanie miało rozwiązanie, k musi być większe lub równe zero. Zbiorem wartości k jest zatem przedział <0, +∞). Jeśli k = 0, to mamy jedno rozwiązanie x = 1. Jeśli k > 0, to mamy dwa rozwiązania: x = 1 + k oraz x = 1 - k.

Inny przykład, równanie wykładnicze:

2ˣ = k

Funkcja wykładnicza 2ˣ przyjmuje tylko wartości dodatnie. Zatem, aby równanie 2ˣ = k miało rozwiązanie, k musi być większe od zera. Zbiór wartości k to przedział (0, +∞).

A co z równaniem logarytmicznym:

log₂(x) = k

Funkcja logarytmiczna log₂(x) przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste dla x > 0. Ponieważ x jest argumentem logarytmu i musi być dodatni, to dziedzina funkcji to (0, +∞). Natomiast wartości funkcji (czyli k) mogą być dowolne. Zatem zbiorem wartości k jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Rozważmy teraz bardziej złożone równanie, w którym k pojawia się wewnątrz funkcji:

√(x - k) = 2

Aby pierwiastek kwadratowy istniał, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Zatem x - k ≥ 0, czyli x ≥ k. Podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymujemy:

x - k = 4 x = k + 4

Ponieważ x ≥ k, to podstawiając x = k + 4, otrzymujemy:

k + 4 ≥ k

Co jest zawsze prawdą, niezależnie od wartości k. Zatem zbiór wartości k to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Analiza Równań z Parametrem w Mianowniku

Równania, w których parametr k występuje w mianowniku, wymagają szczególnej ostrożności. Należy pamiętać o wykluczeniu tych wartości k, dla których mianownik się zeruje, ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone.

Rozważmy przykład:

x / (k - 2) = 1

Aby to równanie miało sens, mianownik (k - 2) musi być różny od zera. Zatem k ≠ 2. Jeśli k ≠ 2, to możemy pomnożyć obie strony równania przez (k - 2), otrzymując:

x = k - 2

Równanie to ma rozwiązanie dla każdego k ≠ 2. Zatem zbiór wartości k to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 2, czyli R \ {2}.

Rozważmy teraz bardziej skomplikowany przykład:

1 / (x - k) = 2

Aby to równanie miało sens, mianownik (x - k) musi być różny od zera, czyli x ≠ k. Mnożąc obie strony przez (x - k), otrzymujemy:

1 = 2(x - k) 1 = 2x - 2k 2x = 1 + 2k x = (1 + 2k) / 2

Musimy teraz sprawdzić, czy x ≠ k.

(1 + 2k) / 2 ≠ k 1 + 2k ≠ 2k 1 ≠ 0

To jest zawsze prawda. Zatem równanie ma rozwiązanie dla każdego k. Zbiór wartości k to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Równania z Parametrem Pod Pierwiastkiem Parzystego Stopnia

Gdy parametr k pojawia się pod pierwiastkiem parzystego stopnia, musimy pamiętać o zapewnieniu nieujemności wyrażenia pod pierwiastkiem. Na przykład, rozważmy równanie:

√(k - x) = 3

Aby pierwiastek kwadratowy istniał, musi zachodzić warunek k - x ≥ 0, czyli k ≥ x. Podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymujemy:

k - x = 9 x = k - 9

Podstawiając x = k - 9 do warunku k ≥ x, otrzymujemy:

k ≥ k - 9 0 ≥ -9

Co jest zawsze prawdą. Zatem równanie ma rozwiązanie dla każdego k. Zbiór wartości k to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Zwróćmy uwagę na różnicę z przykładem:

√(x - k) = 3

Aby pierwiastek kwadratowy istniał, musi zachodzić warunek x - k ≥ 0, czyli x ≥ k. Podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymujemy:

x - k = 9 x = k + 9

Znowu podstawiając x = k + 9 do warunku x ≥ k, otrzymujemy:

k + 9 ≥ k 9 ≥ 0

Co jest zawsze prawdą. Zatem równanie ma rozwiązanie dla każdego k. Zbiór wartości k to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Podsumowując, znajdowanie zbioru wszystkich wartości parametru k, dla których równanie ma rozwiązanie, wymaga dokładnej analizy równania, uwzględnienia jego typu, dziedziny, warunków istnienia pierwiastków (np. wyróżnik w równaniu kwadratowym), a także ograniczeń wynikających z funkcji (np. przedział wartości funkcji sinus, nieujemność wartości pod pierwiastkiem parzystego stopnia, różne od zera mianowniki).