Wskaż Ułamek Który Ma Rozwinięcie Dziesiętne Nieskończone

Ułamki, te podstawowe elementy matematyki, towarzyszą nam od najmłodszych lat. Od dzielenia pizzy po obliczanie procentów, stanowią fundament wielu zagadnień. Jednak nie wszystkie ułamki są sobie równe. Niektóre z nich, po zamianie na postać dziesiętną, kończą się po kilku cyfrach, inne zaś ciągną się w nieskończoność, tworząc rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Jak rozpoznać, który ułamek kryje w sobie tę matematyczną tajemnicę? Jak odróżnić te, które mają skrócone, schludne rozwinięcia dziesiętne, od tych, których rozwinięcia są nieskończone i być może powtarzalne? To właśnie ta zagadka stanowi sedno dzisiejszego rozważania.

Zanim zagłębimy się w poszukiwanie ułamków z rozwinięciami nieskończonymi, warto przypomnieć sobie, czym w ogóle jest ułamek. Ułamek to wyrażenie postaci a/b, gdzie 'a' nazywamy licznikiem, a 'b' mianownikiem. Licznik mówi nam, ile części bierzemy z całości, a mianownik wskazuje, na ile równych części całość została podzielona. Przykładowo, ułamek 1/2 oznacza, że dzielimy coś na dwie równe części i bierzemy jedną z nich. Ułamek 3/4 oznacza podział na cztery równe części i wybranie trzech z nich.

Rozwinięcie dziesiętne ułamka to sposób przedstawienia go w postaci liczby dziesiętnej, czyli liczby z przecinkiem. Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne ułamka, wystarczy podzielić licznik przez mianownik. W zależności od wyniku tego dzielenia, otrzymujemy albo rozwinięcie dziesiętne skończone, albo nieskończone.

Ułamki, które po zamianie na postać dziesiętną dają skończoną liczbę cyfr po przecinku, nazywamy ułamkami o rozwinięciu dziesiętnym skończonym. Przykładem może być ułamek 1/4. Dzieląc 1 przez 4, otrzymujemy 0,25. Rozwinięcie to kończy się na dwóch cyfrach po przecinku. Innym przykładem jest ułamek 3/8. Dzieląc 3 przez 8, otrzymujemy 0,375. Tutaj rozwinięcie kończy się na trzech cyfrach po przecinku.

Ułamki o Rozwinięciach Dziesiętnych Nieskończonych

Teraz dochodzimy do sedna sprawy – ułamki, które posiadają rozwinięcia dziesiętne nieskończone. Co je charakteryzuje? Przede wszystkim fakt, że dzieląc licznik przez mianownik, nigdy nie otrzymamy reszty zero. Dzielenie ciągnie się w nieskończoność, generując kolejne cyfry po przecinku. Rozwinięcia te mogą być okresowe lub nieokresowe. Rozwinięcie okresowe to takie, w którym pewien ciąg cyfr powtarza się w nieskończoność. Na przykład, ułamek 1/3 ma rozwinięcie dziesiętne 0,3333... Trójka powtarza się w nieskończoność. Możemy to zapisać jako 0,(3), gdzie nawias oznacza powtarzający się okres. Innym przykładem jest ułamek 2/11, który ma rozwinięcie 0,181818... Możemy to zapisać jako 0,(18). Zauważmy, że okres może składać się z jednej lub kilku cyfr.

Jak rozpoznać, czy dany ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone? Najprostszym sposobem jest oczywiście wykonanie dzielenia i obserwowanie, czy po pewnym czasie zaczyna się powtarzać jakiś wzór. Jednak istnieje szybsza metoda, która pozwala uniknąć czasochłonnego dzielenia. Kluczem jest analiza mianownika ułamka.

Jeżeli mianownik ułamka (po uproszczeniu ułamka do postaci nieskracalnej) posiada w rozkładzie na czynniki pierwsze tylko liczby 2 i 5, to ułamek ten ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Jeżeli natomiast w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika występuje jakakolwiek inna liczba pierwsza (poza 2 i 5), to ułamek ten ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.

Spójrzmy na kilka przykładów. Ułamek 7/20. Mianownik to 20. Rozkładamy 20 na czynniki pierwsze: 20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5. W rozkładzie występują tylko liczby 2 i 5, więc ułamek 7/20 ma rozwinięcie dziesiętne skończone. I rzeczywiście, 7/20 = 0,35.

Teraz weźmy ułamek 5/12. Mianownik to 12. Rozkładamy 12 na czynniki pierwsze: 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3. W rozkładzie występuje liczba 3, różna od 2 i 5, więc ułamek 5/12 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone. I rzeczywiście, 5/12 = 0,416666... = 0,41(6).

Kolejny przykład: ułamek 9/35. Mianownik to 35. Rozkładamy 35 na czynniki pierwsze: 35 = 5 x 7. W rozkładzie występuje liczba 7, różna od 2 i 5, więc ułamek 9/35 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Rzeczywiście, 9/35 = 0,2571428571428... = 0,(257142).

Sprawdźmy jeszcze ułamek 11/15. Mianownik to 15. Rozkładamy 15 na czynniki pierwsze: 15 = 3 x 5. W rozkładzie występuje liczba 3, różna od 2 i 5, więc ułamek 11/15 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone. I rzeczywiście, 11/15 = 0,733333... = 0,7(3).

Podsumowując, aby stwierdzić, czy ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone, należy:

1. Uprościć ułamek do postaci nieskracalnej (jeśli jest to możliwe).
2. Rozłożyć mianownik na czynniki pierwsze.
3. Jeśli w rozkładzie występują tylko liczby 2 i 5, ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Jeśli występuje jakakolwiek inna liczba pierwsza, ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.

Ta prosta metoda pozwala szybko i sprawnie identyfikować ułamki o fascynujących, nieskończonych rozwinięciach dziesiętnych. Pamiętajmy, że matematyka to nie tylko suche liczby i wzory, ale również fascynująca podróż po świecie abstrakcji i zależności, w której nawet ułamek może skrywać nieskończoność.