Wskaż Przedział Do Którego Należy Dokładnie Siedem Liczb Całkowitych

Drodzy Uczniowie,

Wasze pytania dotyczące przedziałów zawierających dokładnie siedem liczb całkowitych są dla mnie priorytetem. Przygotowałem dla Was szczegółowe opracowanie, które rozwieje wszelkie wątpliwości.

Zacznijmy od podstaw. Przedział, w którym znajduje się dokładnie siedem liczb całkowitych, musi mieć długość, która to umożliwia. Aby ustalić ten fakt, rozważmy różne typy przedziałów – otwarte, zamknięte i półotwarte (lewostronnie i prawostronnie).

Przedziały Zamknięte i Ich Charakterystyka

Przedział zamknięty <a, b>, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi i a ≤ b, zawiera wszystkie liczby rzeczywiste pomiędzy a i b, włączając a i b. Aby w takim przedziale znajdowało się dokładnie siedem liczb całkowitych, różnica pomiędzy b i a musi być wystarczająco duża.

Niech a i b będą liczbami całkowitymi. Wtedy przedział <a, b> zawiera dokładnie b - a + 1 liczb całkowitych. Zatem, aby b - a + 1 = 7, musimy mieć b - a = 6. Przykładowo, przedział <1, 7> zawiera liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, czyli dokładnie siedem liczb całkowitych. Podobnie, przedział <-3, 3> zawiera liczby -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Jednakże, jeśli a i b nie są liczbami całkowitymi, sytuacja staje się nieco bardziej skomplikowana. Rozważmy przedział <a, b>, gdzie a = 1.1 i b = 7.9. Liczby całkowite w tym przedziale to 2, 3, 4, 5, 6, 7. Zatem jest ich sześć. Jeśli natomiast weźmiemy przedział <1.1, 8.1>, liczby całkowite to 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 – czyli siedem liczb całkowitych.

Aby znaleźć ogólny warunek, zauważmy, że najmniejsza liczba całkowita w przedziale <a, b> to ⌈a⌉ (sufit a), a największa to ⌊b⌋ (podłoga b). Zatem, aby w przedziale <a, b> było dokładnie siedem liczb całkowitych, musimy mieć ⌊b⌋ - ⌈a⌉ + 1 = 7, co implikuje ⌊b⌋ - ⌈a⌉ = 6.

Przykład:

• a = -2.5, b = 4.9. Wtedy ⌈a⌉ = -2 i ⌊b⌋ = 4. 4 - (-2) = 6. Liczby całkowite w przedziale to -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
• a = 0, b = 6. Wtedy ⌈a⌉ = 0 i ⌊b⌋ = 6. 6 - 0 = 6. Liczby całkowite w przedziale to 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• a = 0.1, b = 6.9. Wtedy ⌈a⌉ = 1 i ⌊b⌋ = 6. 6 - 1 = 5. Liczby całkowite w przedziale to 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Przedziały Otwarte i Półotwarte

Przedział otwarty (a, b) zawiera wszystkie liczby rzeczywiste pomiędzy a i b, ale nie włącza a i b. Podobnie jak wcześniej, aby w takim przedziale było siedem liczb całkowitych, różnica między b i a musi być odpowiednia.

Niech a i b będą liczbami całkowitymi. W przedziale (a, b) znajdują się liczby całkowite a+1, a+2, ..., b-1. Zatem, aby w przedziale (a, b) było dokładnie siedem liczb całkowitych, (b - 1) - (a + 1) + 1 = 7, czyli b - a - 1 = 7, co implikuje b - a = 8. Przykładowo, przedział (0, 8) zawiera liczby całkowite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Jeśli a i b nie są liczbami całkowitymi, musimy uwzględnić podłogę i sufit. Najmniejsza liczba całkowita w przedziale (a, b) to ⌈a⌉ + δ, gdzie δ = 1 jeśli a jest całkowite i 0 jeśli a nie jest całkowite. Największa liczba całkowita w przedziale (a, b) to ⌊b⌋ - ε, gdzie ε = 1 jeśli b jest całkowite i 0 jeśli b nie jest całkowite. Zatem, aby w przedziale (a, b) było dokładnie siedem liczb całkowitych, musimy mieć (⌊b⌋ - ε) - (⌈a⌉ + δ) + 1 = 7, czyli ⌊b⌋ - ⌈a⌉ - (ε + δ) + 1 = 7, co implikuje ⌊b⌋ - ⌈a⌉ = 6 + ε + δ.

Dla przedziału lewostronnie otwartego (a, b>, liczba liczb całkowitych wynosi ⌊b⌋ - ⌈a⌉. Zatem ⌊b⌋ - ⌈a⌉ = 7. Dla przedziału prawostronnie otwartego <a, b), liczba liczb całkowitych wynosi ⌊b⌋ - ⌈a⌉. Zatem ⌊b⌋ - ⌈a⌉ = 7.

Przykłady:

• Przedział (1.5, 9.5): Liczby całkowite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest ich osiem.
• Przedział (1.5, 8.5): Liczby całkowite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Jest ich siedem.
• Przedział (2, 10): Liczby całkowite: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest ich siedem.
• Przedział <2, 9): Liczby całkowite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Jest ich siedem.
• Przedział (2, 9>: Liczby całkowite: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest ich siedem.

Podsumowując, aby znaleźć przedział zawierający dokładnie siedem liczb całkowitych, należy uwzględnić typ przedziału (otwarty, zamknięty, półotwarty) oraz wartości krańcowe a i b. Wykorzystując funkcje podłogi i sufitu, możemy precyzyjnie określić liczbę liczb całkowitych w danym przedziale.

Przedstawione informacje są wyczerpujące i pozwolą Wam na rozwiązywanie zadań z zakresu przedziałów zawierających określoną liczbę liczb całkowitych. Pamiętajcie, kluczem jest zrozumienie definicji przedziałów i poprawne użycie funkcji podłogi i sufitu.

W razie dalszych pytań, jestem do Waszej dyspozycji.