Wskaż Nierówność Prawdziwą Dla Wszystkich Liczb Rzeczywistych X

Okej, spójrzmy na to, jak znaleźć nierówność, która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 'x'. To znaczy, niezależnie od tego, jaką liczbę wybierzesz dla 'x', ta nierówność zawsze będzie spełniona.

Musimy szukać wyrażeń, które gwarantują pewną własność, niezależną od wartości 'x'. Często takie wyrażenia wykorzystują kwadraty liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny (większy lub równy zeru).

Spróbujmy przeanalizować kilka przykładów i zobaczyć, jak możemy dojść do poprawnej odpowiedzi.

Rozważmy wyrażenie: x² + 1

Niezależnie od tego, co wstawimy za 'x', x² zawsze będzie większe lub równe zeru. Dodając do tego '1', otrzymujemy liczbę, która jest zawsze większa lub równa 1. Zatem, możemy stwierdzić, że:

x² + 1 > 0 (dla każdej liczby rzeczywistej x) x² + 1 >= 1 (dla każdej liczby rzeczywistej x)

Obie te nierówności są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Spójrzmy na inne przykłady. Załóżmy, że mamy wyrażenie:

(x - 2)²

Wiemy, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem:

(x - 2)² >= 0 (dla każdej liczby rzeczywistej x)

Ta nierówność jest również prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Co, jeśli chcemy stworzyć coś bardziej skomplikowanego? Spróbujmy z wyrażeniem kwadratowym.

x² + 2x + 1

Możemy zauważyć, że to wyrażenie jest kwadratem sumy:

x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, mamy:

(x + 1)² >= 0 (dla każdej liczby rzeczywistej x)

Zatem:

x² + 2x + 1 >= 0 (dla każdej liczby rzeczywistej x)

To też jest nierówność prawdziwa dla wszystkich 'x'.

A teraz trudniejszy przykład. Co powiemy o:

x² + 4x + 5

To wyrażenie nie wygląda od razu jak kwadrat sumy, ale możemy spróbować je przekształcić. Uzupełnimy to wyrażenie do pełnego kwadratu. Pamiętamy, że wzór skróconego mnożenia to: (a+b)² = a² + 2ab + b². W naszym przypadku a² = x² więc a = x. Następnie 2ab = 4x, czyli 2 * x * b = 4x, więc b = 2. Aby uzyskać pełny kwadrat, potrzebujemy b² = 2² = 4. Mamy x² + 4x + 5, co możemy zapisać jako x² + 4x + 4 + 1. Teraz mamy:

x² + 4x + 5 = (x² + 4x + 4) + 1 = (x + 2)² + 1

Ponieważ (x + 2)² >= 0 dla każdego 'x', to (x + 2)² + 1 >= 1 dla każdego 'x'. Zatem:

x² + 4x + 5 >= 1 (dla każdej liczby rzeczywistej x) x² + 4x + 5 > 0 (dla każdej liczby rzeczywistej x)

Obie te nierówności są prawdziwe.

Kluczowe Elementy

Podsumowując, żeby znaleźć nierówność prawdziwą dla wszystkich liczb rzeczywistych 'x', szukamy wyrażeń, które gwarantują, że wynik jest zawsze większy lub równy jakiejś stałej (często zeru lub liczbie dodatniej). Wykorzystujemy do tego:

• Kwadraty liczb rzeczywistych (ponieważ są zawsze nieujemne)
• Przekształcenia algebraiczne (takie jak uzupełnianie do pełnego kwadratu)

Spróbujmy jeszcze jednego przykładu, żeby upewnić się, że wszystko jest jasne.

Weźmy wyrażenie:

2x² + 3

Ponieważ x² >= 0 dla każdego 'x', to 2x² >= 0 dla każdego 'x' (mnożenie przez liczbę dodatnią nie zmienia znaku). Dodając '3', otrzymujemy:

2x² + 3 >= 3 (dla każdej liczby rzeczywistej x) 2x² + 3 > 0 (dla każdej liczby rzeczywistej x)

I znów, mamy nierówność, która jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Warto też pamiętać o wyrażeniach, które NIE zawsze są prawdziwe. Na przykład:

x > 0

Ta nierówność jest prawdziwa tylko dla liczb dodatnich. Jeśli x = -1, to nierówność nie jest spełniona.

x² > x

Ta nierówność jest prawdziwa dla x > 1, ale nie jest prawdziwa dla x = 0.5 (bo 0.5² = 0.25, a 0.25 < 0.5).

H2 Sprawdzanie Nierówności

Kiedy dostaniesz jakąś nierówność, żeby sprawdzić, czy jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych, spróbuj podstawić różne wartości za 'x'. Spróbuj liczb ujemnych, zer i liczb dodatnich (zarówno małych, jak i dużych). Jeśli znajdziesz chociaż jedną wartość 'x', dla której nierówność nie jest spełniona, to znaczy, że nierówność nie jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych.

H2 Uzupełnianie do Pełnego Kwadratu - Szczegółowo

Uzupełnianie do pełnego kwadratu to bardzo przydatna technika. Przypomnijmy sobie wzór:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Załóżmy, że mamy wyrażenie x² + 6x + 7 i chcemy je przekształcić.

1. Identyfikujemy 'a': W naszym przypadku a = x (bo a² = x²).
2. Identyfikujemy 'b': Wiemy, że 2ab = 6x. Ponieważ a = x, to 2 * x * b = 6x, co oznacza, że b = 3.
3. Dodajemy i odejmujemy b²: Potrzebujemy b² = 3² = 9. Mamy x² + 6x + 7. Możemy to zapisać jako x² + 6x + 9 - 9 + 7.
4. Zapisujemy jako kwadrat sumy: Teraz mamy (x² + 6x + 9) - 9 + 7 = (x + 3)² - 2.

Zatem x² + 6x + 7 = (x + 3)² - 2. Ponieważ (x + 3)² >= 0, to (x + 3)² - 2 >= -2. Zatem:

x² + 6x + 7 >= -2 (dla każdej liczby rzeczywistej x)

I znowu, znaleźliśmy nierówność, która jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych. Możemy też stwierdzić że x² + 6x + 7 > -3 ponieważ minimalna wartość tego wyrażenia to -2.

Pamiętaj, że kluczem jest praktyka. Im więcej przykładów rozwiążesz, tym łatwiej będzie Ci rozpoznawać wyrażenia, które prowadzą do nierówności prawdziwych dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Mam nadzieję, że teraz rozumiesz, jak szukać nierówności prawdziwych dla wszystkich liczb rzeczywistych 'x'. Powodzenia!