Wskaż Nierówność Którą Spełnia Każda Liczba Rzeczywista

Każda liczba rzeczywista to element zbioru liczb, który zawiera liczby wymierne (takie jak ułamki, liczby całkowite) i liczby niewymierne (np. √2, π). Rozważając nierówności, poszukujemy takiej, która zawsze będzie prawdziwa, niezależnie od tego, jaką liczbę rzeczywistą podstawimy za zmienną.

Spróbujmy zacząć od nierówności bazujących na kwadracie liczby rzeczywistej. Wiemy, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 'x' zachodzi:

x² ≥ 0

Czy możemy zmodyfikować tę nierówność, aby otrzymać coś bardziej interesującego? Dodajmy do obu stron nierówności pewną stałą, na przykład 1:

x² + 1 ≥ 1

Ta nierówność również jest zawsze prawdziwa. Lewa strona jest zawsze większa lub równa 1, niezależnie od wartości x.

A co z wyrażeniami, które zawierają 'x' w pierwszej potędze? Rozważmy nierówność:

x² + 2x + 1 ≥ 0

Możemy zauważyć, że lewa strona tej nierówności to nic innego jak rozwinięcie kwadratu sumy:

(x + 1)² ≥ 0

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, ta nierówność również jest zawsze prawdziwa.

Możemy generalizować ten pomysł. Niech 'a' będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wtedy:

(x + a)² ≥ 0

x² + 2ax + a² ≥ 0

Ta nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej 'x' i 'a'.

Teraz zastanówmy się nad nierównościami, które wykorzystują wartość bezwzględną. Wartość bezwzględna liczby 'x', oznaczana jako |x|, to odległość tej liczby od zera. Z definicji, wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna:

|x| ≥ 0

Podobnie jak w przypadku kwadratu, możemy dodać do obu stron nierówności stałą:

|x| + 1 ≥ 1

Ta nierówność jest również zawsze prawdziwa.

A co z wyrażeniami mieszanymi, zawierającymi zarówno 'x' jak i jego wartość bezwzględną? Rozważmy nierówność:

x² + |x| ≥ 0

Ponieważ x² jest zawsze nieujemne, a |x| jest również zawsze nieujemne, ich suma musi być również nieujemna. Ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 'x'.

Przykłady bardziej złożonych nierówności

Możemy budować bardziej złożone nierówności, które również są zawsze prawdziwe. Spróbujmy z funkcją wykładniczą. Wiemy, że funkcja wykładnicza o podstawie większej niż 1 (np. e^x, gdzie e to liczba Eulera, około 2.718) jest zawsze dodatnia:

e^x > 0

Zatem, dodając do obu stron dowolną liczbę, otrzymamy:

e^x + a > a

Jeśli a = -1, to

e^x - 1 > -1

Ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 'x'.

Rozważmy teraz funkcję trygonometryczną sinus. Wiemy, że wartość sinusa mieści się w przedziale od -1 do 1:

-1 ≤ sin(x) ≤ 1

Dodając 1 do wszystkich stron nierówności, otrzymujemy:

0 ≤ sin(x) + 1 ≤ 2

Zatem, sin(x) + 1 ≥ 0 dla każdej liczby rzeczywistej 'x'.

Możemy również wykorzystać nierówność trójkąta. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:

|a + b| ≤ |a| + |b|

Odejmując |a| + |b| od obu stron, otrzymujemy:

|a + b| - |a| - |b| ≤ 0

Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych 'a' i 'b'.

Innym przykładem jest nierówność wynikająca z własności kwadratu sumy i różnicy. Wiemy, że:

(a - b)² ≥ 0

Rozwijając, otrzymujemy:

a² - 2ab + b² ≥ 0

Dodając 4ab do obu stron, otrzymujemy:

a² + 2ab + b² ≥ 4ab

(a + b)² ≥ 4ab

Możemy tę nierówność przekształcić na różne sposoby, w zależności od naszych potrzeb. Na przykład, jeśli a i b są dodatnie, możemy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu stron:

|a + b| ≥ 2√(ab)

Ponieważ a i b są dodatnie, |a + b| = a + b, zatem:

a + b ≥ 2√(ab)

Dzieląc obie strony przez 2, otrzymujemy:

(a + b)/2 ≥ √(ab)

Ta nierówność mówi, że średnia arytmetyczna dwóch liczb dodatnich jest większa lub równa ich średniej geometrycznej.

Kwadrat Sumy

Najbardziej uniwersalnym przykładem nierówności, którą spełnia każda liczba rzeczywista jest nierówność wynikająca z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny. Już wcześniej to wykorzystaliśmy, ale warto to podkreślić. Niezależnie od tego, jak skomplikowane wyrażenie algebraiczną wymyślimy, jeżeli możemy je sprowadzić do kwadratu, to wiemy, że wynik będzie nieujemny.

Dla przykładu, rozważmy wyrażenie:

x⁴ + 2x² + 1

Możemy zauważyć, że to jest kwadrat sumy:

(x² + 1)²

Ponieważ x² jest zawsze nieujemne, to x² + 1 jest zawsze większe lub równe 1. Zatem (x² + 1)² jest zawsze większe lub równe 1. Czyli (x² + 1)² > 0. Zatem nierówność (x² + 1)² ≥ 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej 'x'.

Podsumowując, znalezienie nierówności, którą spełnia każda liczba rzeczywista, sprowadza się często do wykorzystania podstawowych własności liczb rzeczywistych, takich jak nieujemność kwadratu lub własności wartości bezwzględnej. Budując bardziej skomplikowane nierówności, staramy się sprowadzić je do tych podstawowych własności, aby zagwarantować, że będą one prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej. Konstruowanie takich nierówności to ciekawe ćwiczenie z algebry i logicznego myślenia. Wiele z tych nierówności ma konkretne zastosowania w matematyce i fizyce, na przykład nierówność trójkąta czy nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Umiejętność rozpoznawania i manipulowania takimi nierównościami jest bardzo przydatna w rozwiązywaniu różnego rodzaju problemów.