Właściwości Liczb Naturalnych Sprawdzian Kl 5

Zrozumienie właściwości liczb naturalnych jest kluczowe w matematyce, zwłaszcza w klasie 5. Obejmuje to pojęcia takie jak podzielność, liczby pierwsze i złożone, oraz znajomość cech podzielności. Umiejętność ta pozwala na szybkie rozwiązywanie problemów, upraszczanie ułamków i skuteczne działania na dużych liczbach. Przydatne są nie tylko na sprawdzianach, ale także w codziennym życiu, np. przy dzieleniu się czymś sprawiedliwie z przyjaciółmi.

Podzielność liczb naturalnych

Podzielność oznacza, że dana liczba dzieli się przez inną liczbę bez reszty. Na przykład, 12 jest podzielne przez 3, ponieważ 12 : 3 = 4, a reszta wynosi 0. Zrozumienie tego pozwala szybko stwierdzić, czy dana liczba jest wielokrotnością innej.

Cechy podzielności:

Przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta (0, 2, 4, 6, 8).
Przykład: 124, 356, 780 są podzielne przez 2.
Przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Przykład: 231 (2 + 3 + 1 = 6, a 6 jest podzielne przez 3), 54 (5+4=9, a 9 jest podzielne przez 3).
Przez 4: Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.
Przykład: 316 (16 jest podzielne przez 4), 120 (20 jest podzielne przez 4).
Przez 5: Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5.
Przykład: 230, 455, 600 są podzielne przez 5.
Przez 9: Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: 459 (4 + 5 + 9 = 18, a 18 jest podzielne przez 9), 81 (8+1=9, a 9 jest podzielne przez 9).
Przez 10: Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnia cyfra to 0.
Przykład: 120, 350, 700 są podzielne przez 10.

Zapamiętanie tych cech znacznie ułatwia rozwiązywanie zadań!

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
Przykłady: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.
Przykłady: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15...

Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?

Żeby sprawdzić, czy dana liczba jest pierwsza, wystarczy dzielić ją przez liczby pierwsze mniejsze od jej pierwiastka kwadratowego. Jeśli żadna z tych liczb nie dzieli danej liczby bez reszty, to jest ona liczbą pierwszą.
Przykład: Sprawdźmy, czy 37 jest liczbą pierwszą. Pierwiastek kwadratowy z 37 to około 6. Więc sprawdzamy podzielność przez 2, 3 i 5. 37 nie dzieli się przez żadną z tych liczb, więc jest liczbą pierwszą.

Rozkład na czynniki pierwsze

Rozkład na czynniki pierwsze to przedstawienie danej liczby złożonej jako iloczyn liczb pierwszych.
Przykład: Rozkład liczby 12 na czynniki pierwsze to 2 x 2 x 3 (lub 2² x 3).

Jak wykonać rozkład na czynniki pierwsze?

Zaczynamy od dzielenia liczby przez najmniejszą liczbę pierwszą, czyli 2.
Jeśli liczba dzieli się przez 2 bez reszty, dzielimy dalej przez 2.
Jeśli liczba nie dzieli się przez 2, szukamy kolejnej liczby pierwszej (3, 5, 7...) i dzielimy przez nią.
Powtarzamy ten proces, aż otrzymamy 1.

Przykład: Rozkład liczby 36 na czynniki pierwsze:

36 : 2 = 18

18 : 2 = 9

9 : 3 = 3

3 : 3 = 1

Zatem 36 = 2 x 2 x 3 x 3 (lub 2² x 3²).

Zastosowanie w praktyce

Właściwości liczb naturalnych są bardzo przydatne przy:

Upraszczaniu ułamków: Znajomość cech podzielności pozwala szybko znaleźć wspólny dzielnik licznika i mianownika.
Szukaniu wspólnego mianownika: Rozkład na czynniki pierwsze ułatwia znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Rozwiązywaniu zadań tekstowych: Często trzeba podzielić coś na równe części, a znajomość cech podzielności to ułatwia.

Pamiętaj! Ćwiczenie czyni mistrza! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz te zagadnienia i tym łatwiej będzie Ci rozwiązywać zadania na sprawdzianach i w życiu codziennym.

Na sprawdzianie często pojawiają się zadania typu: