W Trójkącie Prostokątnym Abc Cosinus Kąta Abc Wynosi 0 8

W trójkącie prostokątnym ABC, gdzie kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym, cosinus kąta ABC wynosi 0.8. To stawia nas przed fascynującym zadaniem eksploracji właściwości i zależności wewnątrz tego konkretnego trójkąta. Zatem, zagłębmy się w analizę, korzystając z wiedzy o trygonometrii i geometrii.

Zacznijmy od przypomnienia sobie, co to właściwie jest cosinus kąta w trójkącie prostokątnym. Cosinus kąta ostrego (w naszym przypadku kąta ABC, który oznaczmy też jako kąt β) definiuje się jako stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta (BC) do długości przeciwprostokątnej (AB). Matematycznie zapiszemy to następująco: cos(β) = BC/AB. Wiemy, że cos(β) = 0.8. Oznacza to, że długość boku BC stanowi 80% długości boku AB.

To cenna informacja, która pozwala nam na dalsze rozważania. Możemy, na przykład, spróbować wyznaczyć długości boków trójkąta. Zauważmy, że nie mamy żadnych konkretnych wartości długości boków. Mamy jedynie stosunek. Oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele trójkątów prostokątnych spełniających ten warunek. Dla każdego trójkąta, dla którego BC/AB = 0.8, cosinus kąta ABC będzie wynosił 0.8.

Dla ułatwienia, przyjmijmy, że długość przeciwprostokątnej AB wynosi 10. W takim przypadku długość przyprostokątnej BC (przyległej do kąta β) będzie wynosiła 8, ponieważ 0.8 * 10 = 8. Mając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć długość trzeciego boku, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. W naszym przypadku: AC² + BC² = AB². Podstawiając znane wartości, otrzymujemy: AC² + 8² = 10². Czyli AC² + 64 = 100. Odejmując 64 od obu stron, otrzymujemy: AC² = 36. Pierwiastkując obie strony, otrzymujemy AC = 6. Zatem, jeden z możliwych trójkątów ABC ma boki o długościach: AB = 10, BC = 8, AC = 6.

Ale, jak już ustaliliśmy, to tylko jeden z wielu możliwych trójkątów. Możemy wybrać inne wartości dla AB, a BC zostanie odpowiednio dostosowane, aby zachować cosinus kąta ABC równy 0.8. Na przykład, jeśli przyjmiemy AB = 5, to BC = 0.8 * 5 = 4. Wtedy, stosując twierdzenie Pitagorasa, obliczamy AC: AC² + 4² = 5², czyli AC² + 16 = 25. Zatem AC² = 9, a AC = 3. Mamy kolejny trójkąt: AB = 5, BC = 4, AC = 3. Zauważmy, że oba trójkąty (10, 8, 6) i (5, 4, 3) są podobne.

Skoro już potrafimy wyznaczyć długości boków trójkąta (przy założeniu długości jednego z boków), możemy przejść do obliczenia innych funkcji trygonometrycznych kąta ABC (β). Skupimy się na sinusie i tangensie.

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym definiuje się jako stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do tego kąta (AC) do długości przeciwprostokątnej (AB). Zatem sin(β) = AC/AB. W naszym pierwszym przykładzie, gdzie AB = 10 i AC = 6, sin(β) = 6/10 = 0.6. W drugim przykładzie, gdzie AB = 5 i AC = 3, sin(β) = 3/5 = 0.6. Jak widzimy, sinus kąta β jest taki sam w obu przypadkach, co jest zgodne z faktem, że trójkąty są podobne, a więc kąty mają takie same miary.

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym definiuje się jako stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do tego kąta (AC) do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta (BC). Zatem tan(β) = AC/BC. W naszym pierwszym przykładzie, gdzie AC = 6 i BC = 8, tan(β) = 6/8 = 0.75. W drugim przykładzie, gdzie AC = 3 i BC = 4, tan(β) = 3/4 = 0.75. Ponownie, tangens kąta β jest taki sam w obu przypadkach.

Wyznaczanie Kąta ABC (β)

Znając cosinus kąta, możemy obliczyć jego miarę w stopniach lub radianach. Skorzystamy z funkcji arcus cosinus (arccos lub cos⁻¹), która jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus. Arccos(x) zwraca kąt, którego cosinus wynosi x. W naszym przypadku chcemy znaleźć kąt β, dla którego cos(β) = 0.8.

Zatem β = arccos(0.8). Używając kalkulatora (upewnij się, że jest ustawiony na stopnie), otrzymujemy β ≈ 36.87°. Oznacza to, że kąt ABC w naszym trójkącie ma w przybliżeniu 36.87 stopni. Możemy również wyrazić ten kąt w radianach. Aby to zrobić, musimy pomnożyć miarę kąta w stopniach przez π/180. Zatem β ≈ 36.87° * (π/180) ≈ 0.64 radianów.

Mając miarę kąta ABC (β), możemy obliczyć miarę kąta BAC (α). Wiemy, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°. W trójkącie prostokątnym jeden z kątów (kąt C) ma 90°. Zatem α + β + 90° = 180°. Stąd α + β = 90°. Czyli α = 90° - β. W naszym przypadku α ≈ 90° - 36.87° ≈ 53.13°. Zatem kąt BAC ma w przybliżeniu 53.13 stopni.

Zależności Między Funkcjami Trygonometrycznymi

Warto zauważyć, że istnieje wiele zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta. Na przykład, znamy tożsamość trygonometryczną: sin²(β) + cos²(β) = 1. W naszym przypadku, cos(β) = 0.8, więc cos²(β) = 0.8² = 0.64. Zatem sin²(β) + 0.64 = 1. Odejmując 0.64 od obu stron, otrzymujemy sin²(β) = 0.36. Pierwiastkując obie strony, otrzymujemy sin(β) = 0.6 (bierzemy tylko wartość dodatnią, ponieważ rozważamy kąt ostry w trójkącie prostokątnym). Jak widzimy, otrzymaliśmy ten sam wynik, co wcześniej, obliczając sinus bezpośrednio ze stosunku długości boków.

Kolejną zależnością, którą możemy wykorzystać, jest: tan(β) = sin(β) / cos(β). W naszym przypadku, sin(β) = 0.6 i cos(β) = 0.8. Zatem tan(β) = 0.6 / 0.8 = 0.75. Ponownie, otrzymaliśmy ten sam wynik, co wcześniej.

Podsumowując, znając cosinus kąta ABC w trójkącie prostokątnym, możemy wyznaczyć wszystkie inne funkcje trygonometryczne tego kąta, miarę kąta w stopniach lub radianach, miarę drugiego kąta ostrego w trójkącie, a także, przy założeniu długości jednego z boków, długości pozostałych boków trójkąta. Wszystko to dzięki potędze trygonometrii i twierdzeniu Pitagorasa. Pamiętajmy, że istnieje nieskończenie wiele trójkątów prostokątnych spełniających warunek cos(β) = 0.8, a wszystkie one są podobne do siebie.