W Pojemniku Znajdują Się Niebieskie Czarne I Zielone Piłeczki

Dobrze, spróbujmy odpowiedzieć na pytanie o piłeczkach w pojemniku! Pamiętaj, że nie będziemy wyjaśniać, dlaczego robimy pewne rzeczy, tylko po prostu pokażemy, jak rozwiązać tego typu zadania.

Wyobraź sobie, że masz przed sobą tajemniczy pojemnik. W środku są piłeczki – niebieskie, czarne i zielone. Twoim zadaniem jest dowiedzieć się o nich czegoś więcej. To może być cokolwiek! Ile jest piłeczek każdego koloru? Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania konkretnego koloru? To zależy od tego, co wiemy na początku.

Zacznijmy od prostego przykładu. Powiedzmy, że w pojemniku jest:

5 piłeczek niebieskich
3 piłeczki czarne
2 piłeczki zielone

Razem mamy więc 10 piłeczek (5 + 3 + 2 = 10).

Co możemy z tym zrobić? Możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania piłeczki danego koloru. Prawdopodobieństwo to po prostu szansa, że coś się wydarzy. Obliczamy je, dzieląc liczbę interesujących nas zdarzeń (np. liczba niebieskich piłeczek) przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń (czyli liczba wszystkich piłeczek).

Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej piłeczki: 5 (niebieskich) / 10 (wszystkich) = 1/2 czyli 50%
Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej piłeczki: 3 (czarnych) / 10 (wszystkich) = 3/10 czyli 30%
Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej piłeczki: 2 (zielonych) / 10 (wszystkich) = 1/5 czyli 20%

Widzisz? Już coś wiemy o zawartości pojemnika! Możemy powiedzieć, że najłatwiej jest wylosować piłeczkę niebieską, a najtrudniej – zieloną.

A co, jeśli sytuacja jest trochę bardziej skomplikowana? Załóżmy, że wiemy tylko, że w pojemniku jest łącznie 20 piłeczek. Dodatkowo wiemy, że stosunek piłeczek niebieskich do czarnych wynosi 2:1, a zielonych jest dwa razy mniej niż czarnych. Jak to rozwiązać?

Oznaczmy liczbę czarnych piłeczek jako "x". Wtedy:

Liczba niebieskich piłeczek to 2x
Liczba zielonych piłeczek to x/2

Wiemy, że suma wszystkich piłeczek wynosi 20, więc:

2x + x + x/2 = 20

Teraz musimy rozwiązać to równanie. Najpierw pozbądźmy się ułamka, mnożąc wszystko przez 2:

4x + 2x + x = 40

Teraz dodajmy "x":

7x = 40

Podzielmy obie strony przez 7:

x = 40/7

x ≈ 5.71

No dobrze, ale liczba piłeczek nie może być ułamkowa! To oznacza, że w zadaniu jest błąd, albo że dane nie są dokładne. W praktyce, w takich zadaniach liczby powinny być tak dobrane, żeby wyniki były liczbami całkowitymi. Załóżmy, że w zadaniu zamiast "20" była liczba "21". Wtedy:

7x = 21 x = 3

Więc:

Liczba czarnych piłeczek: 3
Liczba niebieskich piłeczek: 2 * 3 = 6
Liczba zielonych piłeczek: 3 / 2 = 1.5 (co znowu jest problemem).

Widzisz, jak ważne jest, aby dane w zadaniu były spójne! Załóżmy, że stosunek był inny. Na przykład:

Niebieskie:Czarne:Zielone = 3:2:1

Wtedy:

3x + 2x + x = 21

6x = 21

x = 3.5

Znowu problem z ułamkiem. Zmieńmy liczbę piłeczek na 24.

3x + 2x + x = 24

6x = 24

x = 4

Wtedy:

Niebieskie: 3 * 4 = 12
Czarne: 2 * 4 = 8
Zielone: 1 * 4 = 4

Sprawdźmy: 12 + 8 + 4 = 24. Wszystko się zgadza!

Możemy teraz obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania każdej piłeczki:

Prawdopodobieństwo niebieskiej: 12/24 = 1/2 = 50%
Prawdopodobieństwo czarnej: 8/24 = 1/3 ≈ 33.33%
Prawdopodobieństwo zielonej: 4/24 = 1/6 ≈ 16.67%

Bardziej Skomplikowane Sytuacje

Czasami zadania o piłeczkach w pojemniku są jeszcze bardziej podchwytliwe. Mogą dotyczyć losowania kilku piłeczek naraz, albo losowania ze zwracaniem i bez zwracania.

Losowanie ze zwracaniem: Po wylosowaniu piłeczki, wrzucamy ją z powrotem do pojemnika. To oznacza, że za każdym razem, gdy losujemy, mamy taką samą liczbę piłeczek w pojemniku i takie samo prawdopodobieństwo wylosowania danego koloru.
Losowanie bez zwracania: Po wylosowaniu piłeczki, nie wrzucamy jej z powrotem do pojemnika. To oznacza, że za każdym razem, gdy losujemy, liczba piłeczek w pojemniku się zmniejsza, a prawdopodobieństwo wylosowania danego koloru się zmienia.

Załóżmy, że mamy 6 piłeczek: 3 niebieskie, 2 czarne i 1 zieloną. Losujemy DWA razy bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy najpierw niebieską, a potem czarną?

Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej za pierwszym razem: 3/6 = 1/2
Jeśli wylosowaliśmy niebieską, to w pojemniku zostało 5 piłeczek: 2 niebieskie, 2 czarne i 1 zielona.
Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej za drugim razem (pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowaliśmy niebieską): 2/5

Aby obliczyć prawdopodobieństwo obu zdarzeń (najpierw niebieska, potem czarna), musimy pomnożyć te prawdopodobieństwa:

(1/2) * (2/5) = 1/5 czyli 20%

A co, jeśli losujemy DWA razy ze zwracaniem?

Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej za pierwszym razem: 3/6 = 1/2
Ponieważ losujemy ze zwracaniem, po wylosowaniu niebieskiej wrzucamy ją z powrotem. Więc znowu mamy 6 piłeczek: 3 niebieskie, 2 czarne i 1 zielona.
Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej za drugim razem: 2/6 = 1/3

Prawdopodobieństwo wylosowania najpierw niebieskiej, a potem czarnej (ze zwracaniem):

(1/2) * (1/3) = 1/6 czyli około 16.67%

Widzisz różnicę? Losowanie ze zwracaniem i bez zwracania daje inne wyniki!

Oprócz obliczania prawdopodobieństwa, możemy też rozwiązywać zadania, w których mamy podane prawdopodobieństwo i musimy na jego podstawie wywnioskować coś o liczbie piłeczek. Na przykład:

W pojemniku są piłeczki niebieskie i czarne. Wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania piłeczki niebieskiej wynosi 2/3. Wiemy też, że w pojemniku jest 10 czarnych piłeczek. Ile jest niebieskich piłeczek?

Oznaczmy liczbę niebieskich piłeczek jako "n". Wtedy łączna liczba piłeczek w pojemniku to n + 10.

Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej piłeczki to n / (n + 10). Wiemy, że to prawdopodobieństwo wynosi 2/3, więc:

n / (n + 10) = 2/3

Teraz musimy rozwiązać to równanie. Możemy pomnożyć obie strony "na krzyż":

3n = 2(n + 10)

3n = 2n + 20

Odejmijmy 2n od obu stron:

n = 20

Więc w pojemniku jest 20 niebieskich piłeczek.

Podsumowując, zadania z piłeczkami w pojemniku mogą być bardzo różnorodne. Ważne jest, aby dokładnie przeczytać treść zadania, zrozumieć, co jest dane i czego szukamy, a następnie krok po kroku rozwiązać problem, używając odpowiednich wzorów i metod. Powodzenia!