W Numerze Telefonu Magdy Występują Tylko Dwie Różne Cyfry

Hej, słuchajcie! Mamy zadanie: Numer telefonu Magdy zawiera tylko dwie różne cyfry. Zastanówmy się, jak to rozwiązać.

Wyobraźcie sobie, że Magda ma numer telefonu. I w tym numerze pojawiają się tylko dwie cyfry. Na przykład, numer może wyglądać tak: 779797797. Widzimy, że występują tu tylko cyfry 7 i 9. Albo inny przykład: 101100101. Tutaj mamy cyfry 1 i 0. Rozumiecie? Chodzi o to, że cały numer jest zbudowany tylko z dwóch wybranych cyfr, które się powtarzają.

Teraz pytanie, ile takich numerów może istnieć? To już jest ciekawsze!

Ile Możliwości?

Żeby to obliczyć, musimy pomyśleć o kilku rzeczach. Po pierwsze, jakie cyfry w ogóle mogą się pojawić w numerze telefonu? Mamy do dyspozycji cyfry od 0 do 9, czyli łącznie 10 cyfr.

Po drugie, musimy ustalić, ile cyfr ma numer telefonu Magdy. Załóżmy dla uproszczenia, że numer ma 9 cyfr, jak to często bywa w Polsce (bez numeru kierunkowego). To ważne, bo od tego zależy, ile mamy "miejsc" do wypełnienia.

OK, to zaczynamy kombinować.

1. Wybór dwóch cyfr: Najpierw musimy wybrać dwie cyfry z tych dziesięciu, które mogą się pojawić w numerze telefonu. Na przykład, możemy wybrać 3 i 8, albo 1 i 0, albo 9 i 2. Ile jest takich możliwości wyboru?

2. Kolejność cyfr: Kiedy już wybierzemy te dwie cyfry, musimy je "ustawić" w numerze telefonu. Każda z 9 cyfr w numerze może być jedną z tych dwóch wybranych. To znaczy, na pierwszym miejscu możemy wstawić jedną z dwóch cyfr, na drugim miejscu też jedną z dwóch, i tak dalej, aż do dziewiątego miejsca.

3. Wykluczenie przypadków: Musimy uważać, żeby nie policzyć dwa razy tego samego numeru. No i trzeba wykluczyć sytuacje, w których numer telefonu składa się tylko z jednej cyfry. To byłby przypadek, w którym faktycznie nie używamy dwóch różnych cyfr.

Weźmy przykład. Załóżmy, że Magda ma numer 9-cyfrowy.

1. Wybieramy dwie cyfry: Powiedzmy, że losujemy cyfry 4 i 7. Mamy te dwie cyfry, z których będziemy budować numer.

2. Ustawiamy cyfry: Teraz każda z 9 pozycji w numerze może być albo 4, albo 7. Na przykład: 444444444, 474747474, 744477444, i tak dalej.

3. Wykluczamy jednocyfrowe numery: Musimy odjąć dwa przypadki, w których numer składa się tylko z jednej cyfry: 444444444 i 777777777.

Jak to wszystko policzyć?

Krok 1: Wybór dwóch cyfr.

Z 10 cyfr wybieramy 2. Brzmi to jak kombinacja, prawda? Ale musimy uważać, bo kolejność wyboru nie ma znaczenia. Czyli wybranie 2 i 5 to to samo, co wybranie 5 i 2. Możemy to obliczyć w następujący sposób: 10 * 9 / 2 = 45. Mamy 45 różnych par cyfr.

Krok 2: Ustawianie cyfr.

Dla każdej z tych par cyfr, każda pozycja w numerze telefonu może być jedną z tych dwóch cyfr. Skoro mamy 9 pozycji, to mamy 2 możliwości na każdej pozycji. Czyli 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2⁹ = 512 różnych kombinacji.

Krok 3: Wykluczenie przypadków.

Ale, ale! Musimy odjąć dwa przypadki dla każdej pary cyfr: numer składający się tylko z pierwszej cyfry i numer składający się tylko z drugiej cyfry. Czyli od 512 odejmujemy 2. Zostaje nam 510.

Krok 4: Obliczenia końcowe.

Teraz mnożymy liczbę par cyfr przez liczbę możliwych kombinacji dla każdej pary (po odjęciu przypadków jednocyfrowych): 45 * 510 = 22950.

Czyli, jeśli numer telefonu Magdy ma 9 cyfr, to jest 22950 możliwych numerów, w których występują tylko dwie różne cyfry.

A co jeśli numer ma inną długość?

Jeśli numer ma inną długość, na przykład 7 cyfr, to zmieniamy tylko jedną rzecz: potęgę dwójki. Zamiast 2⁹, będziemy mieli 2⁷ = 128. Potem odejmujemy 2 i mnożymy przez liczbę par cyfr (45). Czyli: 45 * (128 - 2) = 45 * 126 = 5670.

Widzicie, jak to działa? Zmienia się tylko ta jedna liczba, która zależy od długości numeru telefonu.

Podsumowanie

• Wybieramy dwie cyfry z dziesięciu możliwych.
• Obliczamy, ile jest możliwych kombinacji tych dwóch cyfr na wszystkich pozycjach w numerze telefonu.
• Odejmujemy przypadki, w których numer składa się tylko z jednej cyfry.
• Mnożymy liczbę par cyfr przez liczbę kombinacji (po odjęciu przypadków jednocyfrowych).

To wszystko! Mam nadzieję, że to było zrozumiałe. Pamiętajcie, że matematyka to zabawa! Im więcej ćwiczycie, tym łatwiej wam będzie rozwiązywać takie zadania.