Ułamek Okresowy Zamień Na Nieskracalny Ułamek Zwykły

Z pewnością wielu z nas pamięta lekcje matematyki, na których musieliśmy zmierzyć się z ułamkami okresowymi. Te liczby, które posiadają nieskończenie powtarzający się ciąg cyfr po przecinku, mogą wydawać się na pierwszy rzut oka skomplikowane. Jednak istnieje metoda, dzięki której możemy zamienić je na ułamki zwykłe, a co ważniejsze, na ułamki nieskracalne. W tym artykule pokażemy, jak to zrobić krok po kroku.

Rozpocznijmy od prostego przykładu. Mamy ułamek okresowy 0,(3). Oznacza to, że liczba 3 powtarza się w nieskończoność po przecinku, czyli 0,333333... Jak zamienić to na ułamek zwykły?

Oznaczmy nasz ułamek przez x:

x = 0,(3)

Następnie pomnóżmy obie strony równania przez 10, ponieważ okres ułamka ma długość 1 (jedna cyfra się powtarza):

10x = 3,(3)

Teraz odejmijmy od równania 10x = 3,(3) równanie x = 0,(3):

10x - x = 3,(3) - 0,(3)

9x = 3

Podzielmy obie strony przez 9:

x = 3/9

Ułamek 3/9 możemy jeszcze skrócić, dzieląc licznik i mianownik przez 3:

x = 1/3

Zatem ułamek okresowy 0,(3) jest równy ułamkowi zwykłemu 1/3.

Przejdźmy do bardziej złożonego przykładu. Załóżmy, że mamy ułamek 0,(15). Oznacza to, że 15 powtarza się w nieskończoność: 0,15151515...

Oznaczmy nasz ułamek przez x:

x = 0,(15)

Tym razem okres ułamka ma długość 2 (dwie cyfry się powtarzają), więc pomnóżmy obie strony równania przez 100:

100x = 15,(15)

Odejmijmy od równania 100x = 15,(15) równanie x = 0,(15):

100x - x = 15,(15) - 0,(15)

99x = 15

Podzielmy obie strony przez 99:

x = 15/99

Ułamek 15/99 możemy skrócić, dzieląc licznik i mianownik przez 3:

x = 5/33

Zatem ułamek okresowy 0,(15) jest równy ułamkowi zwykłemu 5/33.

A co w sytuacji, gdy ułamek ma część nieokresową? Na przykład 0,2(5). Oznacza to, że 2 występuje raz, a potem powtarza się 5: 0,2555555...

Oznaczmy nasz ułamek przez x:

x = 0,2(5)

Najpierw pomnóżmy obie strony równania przez 10, aby "przesunąć" przecinek o jedną pozycję, tak aby okres zaczynał się bezpośrednio po przecinku:

10x = 2,(5)

Teraz pomnóżmy obie strony równania przez 10 ponownie, aby "przesunąć" okres o jedną pozycję:

100x = 25,(5)

Odejmijmy od równania 100x = 25,(5) równanie 10x = 2,(5):

100x - 10x = 25,(5) - 2,(5)

90x = 23

Podzielmy obie strony przez 90:

x = 23/90

W tym przypadku ułamek 23/90 jest już nieskracalny. Zatem ułamek okresowy 0,2(5) jest równy ułamkowi zwykłemu 23/90.

Ułamki okresowe z większymi okresami i częściami nieokresowymi

Rozważmy teraz bardziej skomplikowany przykład: 1,3(125).

Oznaczmy:

x = 1,3(125) = 1,3125125125...

Najpierw, mnożymy przez 10, aby oddzielić część nieokresową:

10x = 13,(125)

Teraz mnożymy przez 1000, aby przesunąć okres (125) o jedną długość w lewo:

10000x = 13125,(125)

Odejmujemy 10x od 10000x:

10000x - 10x = 13125,(125) - 13,(125)

9990x = 13112

x = 13112/9990

Teraz spróbujmy skrócić ten ułamek. Zarówno licznik jak i mianownik są parzyste, więc podzielmy przez 2:

x = 6556/4995

Sprawdźmy, czy można dalej skrócić. Suma cyfr w liczniku (6+5+5+6 = 22) nie jest podzielna przez 3, więc licznik nie jest podzielny przez 3. Suma cyfr w mianowniku (4+9+9+5 = 27) jest podzielna przez 3, więc mianownik jest podzielny przez 3. Licznik nie jest podzielny przez 5, a mianownik jest podzielny przez 5. Sprawdzamy podzielność przez 7. Licznik daje resztę 5 przy dzieleniu przez 7, a mianownik daje resztę 0.

Możemy wykorzystać algorytm Euklidesa, aby znaleźć największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 6556 i 4995.

6556 = 1 * 4995 + 1561 4995 = 3 * 1561 + 312 1561 = 5 * 312 + 1 312 = 312 * 1 + 0

NWD(6556, 4995) = 1. Zatem ułamek jest nieskracalny.

x = 6556/4995

Ostatecznie: 1,3(125) = 6556/4995.

Ważne uwagi

Podczas zamiany ułamka okresowego na ułamek zwykły, kluczowe jest dokładne określenie długości okresu oraz odpowiednie pomnożenie równania, aby móc odjąć ułamki okresowe i pozbyć się nieskończonego ciągu cyfr. Pamiętaj, aby na końcu skrócić uzyskany ułamek do postaci nieskracalnej. Czasami wymaga to nieco wysiłku, ale zawsze warto to zrobić.

Dodatkowo, zawsze sprawdzaj wynik, dzieląc uzyskany ułamek zwykły, aby upewnić się, że otrzymasz pierwotny ułamek okresowy. To dobry sposób na uniknięcie błędów.