Układy Równań Sprawdzian 2 Gimnazjum Chomikuj

Układy równań to temat, który często pojawia się na sprawdzianach w drugiej klasie gimnazjum. Mówiąc najprościej, układ równań to zbiór dwóch lub więcej równań, w których szukamy wartości zmiennych (zwykle x i y), które spełniają wszystkie równania jednocześnie.

Dlaczego to jest ważne? Układy równań pomagają nam rozwiązywać problemy, w których mamy dwie niewiadome i dwa różne warunki, które te niewiadome muszą spełniać. Na przykład, możemy użyć ich do obliczenia ceny dwóch różnych produktów, wiedząc, ile zapłaciliśmy za pewną ich kombinację w dwóch różnych sklepach.

Metody rozwiązywania układów równań

Istnieją trzy główne metody rozwiązywania układów równań. Omówimy je krok po kroku, z przykładami.

Metoda podstawiania

W tej metodzie wyznaczamy jedną zmienną z jednego równania, a następnie wstawiamy to wyrażenie do drugiego równania. To pozwala nam otrzymać jedno równanie z jedną niewiadomą, które łatwo możemy rozwiązać.

Krok 1: Wybierz jedno równanie i wyznacz z niego jedną zmienną (np. wyznacz x z pierwszego równania).
Krok 2: Wstaw to wyrażenie za tę zmienną do drugiego równania.
Krok 3: Rozwiąż otrzymane równanie z jedną niewiadomą.
Krok 4: Wstaw obliczoną wartość do dowolnego z początkowych równań (najlepiej do tego, z którego wyznaczaliśmy zmienną) i oblicz drugą zmienną.

Przykład:

Mamy układ równań:

x + y = 5
2x - y = 1

Krok 1: Wyznaczamy x z pierwszego równania: x = 5 - y

Krok 2: Wstawiamy to do drugiego równania: 2(5 - y) - y = 1

Krok 3: Rozwiązujemy: 10 - 2y - y = 1 => -3y = -9 => y = 3

Krok 4: Wstawiamy y = 3 do x = 5 - y: x = 5 - 3 => x = 2

Rozwiązanie: x = 2, y = 3

Metoda przeciwnych współczynników

W tej metodzie mnożymy jedno lub oba równania przez takie liczby, aby współczynniki przy jednej ze zmiennych były liczbami przeciwnymi. Następnie dodajemy równania stronami, co eliminuje jedną ze zmiennych.

Krok 1: Wybierz zmienną, którą chcesz wyeliminować.
Krok 2: Pomnóż jedno lub oba równania przez takie liczby, aby współczynniki przy wybranej zmiennej były liczbami przeciwnymi.
Krok 3: Dodaj równania stronami.
Krok 4: Rozwiąż otrzymane równanie z jedną niewiadomą.
Krok 5: Wstaw obliczoną wartość do dowolnego z początkowych równań i oblicz drugą zmienną.

Przykład:

Mamy układ równań:

x + 2y = 7
3x - 2y = 5

Krok 1: Chcemy wyeliminować y.

Krok 2: Współczynniki przy y są już przeciwne (+2 i -2), więc nie musimy mnożyć.

Krok 3: Dodajemy równania: (x + 2y) + (3x - 2y) = 7 + 5 => 4x = 12

Krok 4: Rozwiązujemy: 4x = 12 => x = 3

Krok 5: Wstawiamy x = 3 do x + 2y = 7: 3 + 2y = 7 => 2y = 4 => y = 2

Rozwiązanie: x = 3, y = 2

Metoda graficzna

Ta metoda polega na narysowaniu wykresów obu równań w układzie współrzędnych. Punkt przecięcia tych wykresów (jeśli istnieje) jest rozwiązaniem układu równań.

Krok 1: Przekształć każde równanie do postaci kierunkowej prostej (y = ax + b).
Krok 2: Narysuj wykresy obu prostych w układzie współrzędnych.
Krok 3: Znajdź współrzędne punktu przecięcia (jeśli istnieje).

Przykład:

Mamy układ równań:

y = x + 1
y = -x + 3

Krok 1: Równania są już w postaci kierunkowej.

Krok 2: Narysujemy wykresy prostych (niestety, nie mogę tego zrobić tutaj bezpośrednio, ale wyobraź sobie to).

Krok 3: Punkt przecięcia to (1, 2).

Rozwiązanie: x = 1, y = 2

Ważne: Metoda graficzna jest mniej dokładna niż algebraiczne metody, szczególnie gdy współrzędne punktu przecięcia nie są liczbami całkowitymi.

Kiedy układ równań nie ma rozwiązania?

Układ równań może nie mieć rozwiązania, jeśli proste są równoległe (czyli mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne w postaci kierunkowej). Wtedy nie przecinają się.

Kiedy układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli proste się pokrywają (czyli są identyczne). Oznacza to, że oba równania są wielokrotnościami siebie.

Pamiętaj, żeby ćwiczyć rozwiązywanie układów równań różnymi metodami. Im więcej przykładów zrobisz, tym łatwiej będzie Ci poradzić sobie ze sprawdzianem!