Udowodnij Ze Dla Dowolnych Liczb Rzeczywistych Xy Prawdziwa Jest Nierownosc

Dobrze, przygotujmy dogłębną analizę i dowód nierówności dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, udowodnimy, że:

x² + y² ≥ 2xy

Rozważmy różnicę między lewą a prawą stroną nierówności:

x² + y² - 2xy

Możemy zauważyć, że wyrażenie to można przekształcić do postaci kwadratu różnicy:

x² - 2xy + y² = (x - y)²

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, mamy:

(x - y)² ≥ 0

Zatem:

x² + y² - 2xy ≥ 0

Dodając 2xy do obu stron nierówności, otrzymujemy:

x² + y² ≥ 2xy

Co należało udowodnić.

Alternatywny dowód można przeprowadzić, rozważając nierówność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną (AM-GM). Dla dwóch liczb nieujemnych a i b, nierówność AM-GM mówi, że:

(a + b) / 2 ≥ √(ab)

Niech a = x² i b = y². Ponieważ x² i y² są zawsze nieujemne dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, możemy zastosować nierówność AM-GM:

(x² + y²) / 2 ≥ √(x² y²)

(x² + y²) / 2 ≥ |xy|

Mnożąc obie strony przez 2, otrzymujemy:

x² + y² ≥ 2|xy|

Ponieważ |xy| ≥ xy dla wszystkich x i y, mamy:

x² + y² ≥ 2|xy| ≥ 2xy

Zatem:

x² + y² ≥ 2xy

Co potwierdza naszą początkową nierówność.

Przypadek równości:

Zastanówmy się, kiedy zachodzi równość w nierówności x² + y² ≥ 2xy. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (x - y)² = 0. To implikuje, że:

x - y = 0

Zatem:

x = y

Równość zachodzi więc wtedy i tylko wtedy, gdy x i y są równe. W przypadku użycia nierówności AM-GM, równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x² = y², co oznacza |x| = |y|. Ponieważ jednak wyprowadziliśmy z tego x² + y² ≥ 2|xy| ≥ 2xy, równość x² + y² = 2xy zachodzi tylko wtedy, gdy |xy| = xy, co oznacza, że x i y mają ten sam znak (lub jedno z nich jest zerem). Połączenie warunku |x| = |y| i tego, że x i y mają ten sam znak, prowadzi do wniosku, że x = y.

Inne spojrzenie z wykorzystaniem geometrii:

Możemy spojrzeć na tę nierówność z perspektywy geometrycznej, choć nieco pośrednio. Rozważmy wektory u = (x, 0) i v = (0, y) w przestrzeni dwuwymiarowej. Długości tych wektorów to odpowiednio |x| i |y|. Iloczyn skalarny tych wektorów wynosi:

u · v = |x| * |y| * cos(π/2) = 0

Teraz rozważmy wektory a = (x, y) i b = (y, x). Iloczyn skalarny tych wektorów wynosi:

a · b = xy + yx = 2xy

Z drugiej strony, iloczyn skalarny można również wyrazić jako:

a · b = ||a|| ||b|| cos(θ)

gdzie θ jest kątem między wektorami a i b. Zauważmy, że ||a|| = √(x² + y²) i ||b|| = √(y² + x²) = √(x² + y²). Zatem:

a · b = (x² + y²) cos(θ)

Stąd:

2xy = (x² + y²) cos(θ)

cos(θ) = (2xy) / (x² + y²)

Ponieważ -1 ≤ cos(θ) ≤ 1, mamy:

-1 ≤ (2xy) / (x² + y²) ≤ 1

Mnożąc przez (x² + y²) (które jest zawsze nieujemne), otrzymujemy:

-(x² + y²) ≤ 2xy ≤ (x² + y²)

Interesuje nas prawa część tej nierówności:

2xy ≤ x² + y²

Co jest równoważne:

x² + y² ≥ 2xy

Chociaż to podejście nie jest bezpośrednim dowodem, to pokazuje związek geometryczny między x, y, i kątem między wektorami, co prowadzi do naszej nierówności.

Podsumowanie

Nierówność x² + y² ≥ 2xy jest fundamentalną nierównością w matematyce, a jej dowód jest stosunkowo prosty. Przedstawiliśmy dwa główne dowody: jeden bazujący na przekształceniu do kwadratu różnicy, a drugi wykorzystujący nierówność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną. Dodatkowo zbadaliśmy warunki, kiedy zachodzi równość oraz omówiliśmy geometryczną interpretację tej nierówności. Należy pamiętać, że nierówność ta jest szeroko stosowana w różnych obszarach matematyki, w tym w analizie matematycznej, geometrii i teorii liczb.