Suma Dziesięciu Początkowych Wyrazów Ciągu Arytmetycznego Wynosi 115

Dobrze, oto artykuł, który odpowiada na pytanie o sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, wynoszącą 115.

Rozpatrujemy problem, w którym suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 115. Oznaczmy pierwszy wyraz tego ciągu jako a₁, a różnicę ciągu jako r. Zgodnie z definicją ciągu arytmetycznego, n-ty wyraz ciągu można wyrazić jako aₙ = a₁ + (n-1)r. Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, oznaczaną jako Sₙ, można obliczyć za pomocą wzoru: Sₙ = (n/2) * (2a₁ + (n-1)r).

W naszym przypadku S₁₀ = 115. Zatem możemy zapisać równanie:

115 = (10/2) * (2a₁ + (10-1)r) 115 = 5 * (2a₁ + 9r) 23 = 2a₁ + 9r

To równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ mamy jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Potrzebujemy dodatkowych informacji, aby jednoznacznie określić a₁ i r.

Aby zilustrować tę sytuację, rozważmy kilka przykładów.

Przykład 1: Załóżmy, że a₁ = 1. Wtedy:

23 = 2(1) + 9r 21 = 9r r = 21/9 = 7/3

Zatem ciąg arytmetyczny o a₁ = 1 i r = 7/3 spełnia warunek S₁₀ = 115. Kolejne wyrazy tego ciągu to: 1, 10/3, 17/3, 24/3 (8), 31/3, 38/3, 45/3 (15), 52/3, 59/3, 66/3 (22).

Przykład 2: Załóżmy, że r = 1. Wtedy:

23 = 2a₁ + 9(1) 14 = 2a₁ a₁ = 7

Zatem ciąg arytmetyczny o a₁ = 7 i r = 1 spełnia warunek S₁₀ = 115. Kolejne wyrazy tego ciągu to: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Przykład 3: Załóżmy, że a₁ = 0. Wtedy:

23 = 2(0) + 9r 23 = 9r r = 23/9

Zatem ciąg arytmetyczny o a₁ = 0 i r = 23/9 spełnia warunek S₁₀ = 115.

Jak widać, istnieje wiele różnych ciągów arytmetycznych, których suma dziesięciu początkowych wyrazów wynosi 115. Bez dodatkowych informacji (np. wartości jednego z wyrazów, zależności między wyrazami, informacji o tym, że ciąg jest rosnący lub malejący) nie możemy jednoznacznie określić konkretnego ciągu.

Analiza Równania 2a₁ + 9r = 23

Równanie 2a₁ + 9r = 23 reprezentuje linię prostą na płaszczyźnie, gdzie a₁ i r są zmiennymi. Każdy punkt na tej linii odpowiada parze wartości a₁ i r, które definiują ciąg arytmetyczny o sumie dziesięciu początkowych wyrazów równej 115.

Możemy wyrazić a₁ jako funkcję r:

2a₁ = 23 - 9r a₁ = (23 - 9r) / 2

To równanie pozwala nam obliczyć wartość a₁ dla dowolnej wartości r. Podobnie, możemy wyrazić r jako funkcję a₁:

9r = 23 - 2a₁ r = (23 - 2a₁) / 9

To równanie pozwala nam obliczyć wartość r dla dowolnej wartości a₁.

Ponieważ a₁ i r mogą być liczbami rzeczywistymi, istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli ograniczymy się do liczb całkowitych, liczba rozwiązań również będzie nieskończona, ale będą one dyskretne.

Przykładowe rozwiązania (liczby całkowite):

• Jeśli r = 1, to a₁ = 7.
• Jeśli r = 3, to a₁ = -2.
• Jeśli r = 5, to a₁ = -8.5 (nie jest liczbą całkowitą, więc odrzucamy to rozwiązanie, jeśli wymagamy liczb całkowitych).
• Jeśli a₁ = 2, to r = (23 - 4) / 9 = 19/9 (nie jest liczbą całkowitą).
• Jeśli a₁ = 5, to r = (23 - 10) / 9 = 13/9 (nie jest liczbą całkowitą).
• Jeśli a₁ = -2, to r = (23 + 4) / 9 = 3.

Konkluzja

Podsumowując, stwierdzenie, że suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 115, daje nam tylko jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Aby jednoznacznie określić ciąg, potrzebujemy dodatkowych informacji. W przeciwnym razie istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych spełniających ten warunek. Przedstawione przykłady ilustrują, jak różne wartości a₁ i r mogą prowadzić do różnych ciągów o tej samej sumie dziesięciu początkowych wyrazów. Analiza równania 2a₁ + 9r = 23 potwierdza istnienie nieskończonej liczby rozwiązań, zarówno w zbiorze liczb rzeczywistych, jak i całkowitych. Bez dodatkowych ograniczeń, nie możemy wskazać konkretnego ciągu arytmetycznego.