Suma Dwóch Liczb Wymiernych Jest Zawsze Liczbą Wymierną

Hej uczniowie! Dzisiaj odpowiem na pytanie, czy suma dwóch liczb wymiernych jest zawsze liczbą wymierną. Odpowiedź brzmi: tak! Zaraz wam to wytłumaczę w prosty sposób.

Liczba wymierna to taka liczba, którą możemy zapisać w postaci ułamka, gdzie licznik i mianownik to liczby całkowite, a mianownik nie jest zerem. Czyli na przykład: 1/2, -3/4, 5/1, 0/7 (czyli 0), 2 (bo to jest 2/1), -10 (bo to jest -10/1). Ważne, żeby w mianowniku nie było zera, bo dzielenie przez zero nie ma sensu.

Teraz, jak dodajemy dwie liczby wymierne, to co się dzieje? Weźmy dwie dowolne liczby wymierne, nazwijmy je a/b i c/d. Pamiętajcie, że a, b, c i d to liczby całkowite, a b i d nie są zerami.

Chcemy obliczyć a/b + c/d.

Żeby dodać te ułamki, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem będzie b*d (czyli iloczyn mianowników). Więc pierwszy ułamek musimy pomnożyć przez d/d (czyli przez 1, żeby wartość się nie zmieniła), a drugi ułamek musimy pomnożyć przez b/b (też przez 1).

Czyli mamy:

(a/b) * (d/d) + (c/d) * (b/b) = (ad)/(bd) + (cb)/(bd)

Teraz, kiedy mamy wspólny mianownik, możemy dodać liczniki:

(ad + cb) / (bd)

I to jest nasza suma. Spójrzmy teraz, co tu mamy.

ad to liczba całkowita (bo a i d są liczbami całkowitymi, a iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). cb to też liczba całkowita (bo c i b są liczbami całkowitymi, a iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). ad + cb to też liczba całkowita (bo suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). bd to też liczba całkowita (bo b i d są liczbami całkowitymi, a iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). bd nie jest zerem (bo b i d nie są zerami, a iloczyn dwóch liczb różnych od zera nie jest zerem).

Więc nasza suma (ad + cb) / (bd) to ułamek, gdzie licznik (ad + cb) jest liczbą całkowitą, a mianownik (bd) jest liczbą całkowitą różną od zera. To dokładnie definicja liczby wymiernej!

Przykłady dla lepszego zrozumienia

Weźmy na przykład 1/2 + 1/3.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, którym jest 2*3 = 6.

(1/2) * (3/3) + (1/3) * (2/2) = 3/6 + 2/6 = (3+2)/6 = 5/6

5/6 to liczba wymierna (5 i 6 są liczbami całkowitymi, a 6 nie jest zerem).

Inny przykład: -2/5 + 7/10.

Wspólny mianownik to 10.

(-2/5) * (2/2) + 7/10 = -4/10 + 7/10 = (-4+7)/10 = 3/10

3/10 to liczba wymierna (3 i 10 są liczbami całkowitymi, a 10 nie jest zerem).

Jeszcze jeden przykład: 3 + 1/4. Pamiętajmy, że 3 to to samo co 3/1.

(3/1) * (4/4) + 1/4 = 12/4 + 1/4 = (12+1)/4 = 13/4

13/4 to liczba wymierna (13 i 4 są liczbami całkowitymi, a 4 nie jest zerem).

Co to wszystko oznacza?

To oznacza, że niezależnie jakie dwie liczby wymierne weźmiemy i dodamy je do siebie, wynik zawsze będzie liczbą wymierną. To bardzo ważna własność liczb wymiernych. Mówimy, że zbiór liczb wymiernych jest zamknięty ze względu na dodawanie. To znaczy, że działanie dodawania "nie wyprowadza nas" poza zbiór liczb wymiernych.

Można to porównać do mieszania kolorów. Jeśli mieszamy farby w odcieniach niebieskiego, to zawsze uzyskamy farbę w odcieniu niebieskiego (zakładając idealne mieszanie i brak innych barwników). Podobnie, jeśli dodajemy liczby wymierne, to zawsze uzyskamy liczbę wymierną.

Mam nadzieję, że teraz rozumiecie, dlaczego suma dwóch liczb wymiernych jest zawsze liczbą wymierną. Pamiętajcie o definicji liczby wymiernej i o tym, jak dodajemy ułamki. To klucz do zrozumienia tego faktu. I pamiętajcie, że możemy zawsze zapisać liczbę całkowitą jako ułamek z mianownikiem równym 1. To bardzo przydatne, kiedy dodajemy liczbę całkowitą do ułamka.

Jeżeli nadal macie pytania, śmiało pytajcie!