Sprawdzian Z Matematyki Klasa 2 Gimnazjum Pierwiastki Odpowiedzi

Hej wszystkim! Widzę, że sporo osób szuka odpowiedzi do sprawdzianu z matematyki dla klasy 2 gimnazjum, a konkretnie z pierwiastków. Spróbuję wam pomóc zrozumieć, jak rozwiązywać typowe zadania, które mogą się na takim sprawdzianie pojawić. Pamiętajcie, że samo przepisanie odpowiedzi nic wam nie da. Ważne jest, żebyście zrozumieli, dlaczego wynik jest taki, a nie inny. No to zaczynamy!

Zacznijmy od podstaw. Co to w ogóle jest pierwiastek? Pierwiastek kwadratowy z jakiejś liczby to taka liczba, która pomnożona przez samą siebie daje nam liczbę pod pierwiastkiem. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 9 to 3, bo 3 * 3 = 9. Zapisujemy to tak: √9 = 3.

Podobnie jest z pierwiastkiem sześciennym. Pierwiastek sześcienny z jakiejś liczby to taka liczba, która pomnożona przez samą siebie trzy razy daje nam liczbę pod pierwiastkiem. Na przykład, pierwiastek sześcienny z 8 to 2, bo 2 * 2 * 2 = 8. Zapisujemy to tak: ∛8 = 2.

Jak upraszczać pierwiastki?

Upraszczanie pierwiastków polega na wyciąganiu przed pierwiastek czynników, które są kwadratami (w przypadku pierwiastka kwadratowego) lub sześcianami (w przypadku pierwiastka sześciennego). Zobaczmy na przykładach:

√12

Zauważamy, że 12 możemy zapisać jako 4 * 3. A 4 to przecież 2 * 2, czyli kwadrat! Więc:

√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3

Podobnie z pierwiastkiem sześciennym:

∛54

54 możemy zapisać jako 27 * 2. A 27 to 3 * 3 * 3, czyli sześcian!

∛54 = ∛(27 * 2) = ∛27 * ∛2 = 3∛2

Działania na pierwiastkach

Teraz przejdźmy do działań na pierwiastkach. Najważniejsze to pamiętać, że możemy dodawać i odejmować pierwiastki tylko wtedy, gdy mają one ten sam stopień (czyli są oba kwadratowe albo oba sześcienne) i tę samą liczbę pod pierwiastkiem. Na przykład:

2√5 + 3√5 = 5√5

Ale nie możemy dodać 2√5 + 3√7, bo liczby pod pierwiastkiem są różne.

Jeśli mamy dodawanie lub odejmowanie pierwiastków o różnych liczbach pod pierwiastkiem, to najpierw próbujemy je uprościć, żeby zobaczyć, czy przypadkiem nie da się ich doprowadzić do wspólnego mianownika (pod pierwiastkiem, oczywiście).

Na przykład:

√18 + √8

Upraszczamy:

√18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2

√8 = √(4 * 2) = √4 * √2 = 2√2

Teraz możemy dodać:

3√2 + 2√2 = 5√2

Mnożenie i dzielenie pierwiastków jest prostsze. Możemy mnożyć i dzielić pierwiastki o tym samym stopniu, niezależnie od liczb pod pierwiastkiem. Po prostu mnożymy lub dzielimy liczby pod pierwiastkiem.

Na przykład:

√3 * √5 = √(3 * 5) = √15

∛4 * ∛2 = ∛(4 * 2) = ∛8 = 2

Podobnie z dzieleniem:

√10 / √2 = √(10 / 2) = √5

∛24 / ∛3 = ∛(24 / 3) = ∛8 = 2

Usuwanie niewymierności z mianownika

Często w zadaniach pojawia się polecenie, żeby usunąć niewymierność z mianownika. Co to znaczy? To znaczy, że w mianowniku ułamka nie może być pierwiastka. Żeby się go pozbyć, musimy pomnożyć licznik i mianownik przez taki pierwiastek, żeby w mianowniku pierwiastek zniknął.

Na przykład:

1 / √2

Żeby usunąć pierwiastek z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez √2:

(1 * √2) / (√2 * √2) = √2 / 2

I gotowe! W mianowniku nie ma już pierwiastka.

Inny przykład:

2 / ∛3

Tutaj sprawa jest trochę bardziej skomplikowana, bo mamy pierwiastek sześcienny. Musimy pomnożyć licznik i mianownik przez taki pierwiastek sześcienny, żeby w mianowniku pod pierwiastkiem mieć sześcian. Czyli musimy pomnożyć ∛3 przez ∛(3 * 3) = ∛9

(2 * ∛9) / (∛3 * ∛9) = (2∛9) / ∛27 = (2∛9) / 3

I znowu, w mianowniku nie ma już pierwiastka.

Przykładowe zadania

Teraz kilka przykładowych zadań, które mogą pojawić się na sprawdzianie:

1. Oblicz: √25 + √16 - √9

   Rozwiązanie: √25 = 5, √16 = 4, √9 = 3. Czyli: 5 + 4 - 3 = 6

2. Uprość: √75

   Rozwiązanie: √75 = √(25 * 3) = √25 * √3 = 5√3

3. Oblicz: (√2)²

   Rozwiązanie: (√2)² = √2 * √2 = √(2 * 2) = √4 = 2

4. Usuń niewymierność z mianownika: 3 / √5

   Rozwiązanie: (3 * √5) / (√5 * √5) = 3√5 / 5

5. Oblicz: ∛64 - ∛8 + ∛27

   Rozwiązanie: ∛64 = 4, ∛8 = 2, ∛27 = 3. Czyli: 4 - 2 + 3 = 5

Kilka dodatkowych wskazówek

• Pamiętaj, żeby zawsze dokładnie czytać treść zadania. Zastanów się, o co pytają i co musisz zrobić, żeby na nie odpowiedzieć.
• Jeśli nie wiesz, jak rozwiązać zadanie, to spróbuj je uprościć. Zobacz, czy możesz rozłożyć liczby pod pierwiastkiem na czynniki pierwsze.
• Jeśli masz dodawanie lub odejmowanie pierwiastków, to zawsze najpierw spróbuj je uprościć, żeby zobaczyć, czy da się je sprowadzić do wspólnego mianownika (pod pierwiastkiem).
• Ćwicz! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz, jak działają pierwiastki i tym łatwiej będzie ci rozwiązywać zadania na sprawdzianie.
• Nie stresuj się! Stres może sprawić, że zapomnisz nawet to, co dobrze umiesz. Postaraj się zachować spokój i skupić na zadaniach.

Mam nadzieję, że te wskazówki pomogą wam przygotować się do sprawdzianu z pierwiastków. Pamiętajcie, że najważniejsze to zrozumienie zasad i ćwiczenie. Powodzenia!